首页 -> 2009年第1期
在活动中探究 在探究中成长
作者：王 华
[关键词]数学探究 能力培养 策略方法
数学探究活动是数学教学的重要形式，也是一种新的学习方式。尽管使学生通过探究活动来获取知识，并学会学习已成为了大家的共识。但是，应怎样组织教学才有利于培养学生的探究能力和实践能力仍然是个老大难问题。下面，笔者就结合“椭圆及其标准方程”的第一课时的教学实际，谈谈对这一问题的认识。
一、在操作实践活动中探究数学
使学生在活动中学习，并使数学课堂教学活动化，这是数学新课程的显著特点。由于数学知识比较抽象，学生理解起来也比较困难，而通过数学探究活动，不仅可以发展学生的数学思维，培养他们的实践能力，还能使他们体现自身的价值，并增强学习兴趣，从而更加积极、主动地学习。因此，教师要十分关注学生的直接经验，并尽力将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动。比如，从数学知识的形成、发展过程来看，在讲授“椭圆及其标准方程”时，要以学生掌握圆的概念、图像、性质为基础。因此，应在课前使每位学生都准备好学具：两枚图钉，一段无弹性的系绳和一张白色的硬纸板。整节课都要以操作活动贯穿始终。
1.画图导入，激发兴趣。教学导入就从画椭圆开始：
师：固定一枚图钉和系绳的一端，笔系在另一端上运动，轨迹是什么？
生：圆。
师：若将绳子两端用钉子固定，用笔绷住绳子移动，又会画出一个怎样的图形呢？
此处既是一个空白点，又是一个探究点，因此，学生可以动脑思考、动手实践，从而亲身体验，并积极地投入到探究学习中。同时，教师在巡视、观察学生画图的过程中，对有困难的学生应进行适当指导。
2.汇报操作，交流心得。
生：当绳长等于两枚图钉的距离时，我画出了一条线段；当绳长大于两枚图钉的距离时，我画出了一个椭圆。
教师把学生画出的图形进行实物投影，并要求他们展示、交流。（如下图）
3.提出问题，启发探究。展示完毕后：
师：你们对椭圆了解多少？
生：我们常见的椭圆形花盆、汽车油罐、洒水车等都是椭圆。
师：刚才这个同学的回答正确吗？请同学们回忆作图的地方。
生：我们在硬纸板上作图。
师：（取一条一定长的系绳，把它的两端固定在黑板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用粉笔头把绳子拉紧，使粉笔头在黑板上慢慢地移动，以画出一个椭圆。）老师在什么地方作图？
生：老师在黑板上作图。
师：好，那在硬纸板、黑板上作图有什么共同的特点呢？
生：都在平面上。原来椭圆是一个平面图形。
师：那么椭圆形花盆、汽车油罐、洒水车等是不是椭圆呢？
生：不是。准确地说，汽车油罐，洒水车的横截面的轮廓线是椭圆，椭圆形花盆盆口是椭圆。
师：那么，我们能否给椭圆下一个科学的定义呢？
学生开始独立看书并思考，相互讨论着、归纳着……
4.分组活动，解决问题。学生分小组活动，解决问题，并总结方法。最后，师生合作得出：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离叫做椭圆的焦距。
这样，通过实践操作活动，就有效地培养了学生从实际操作中发现数学问题，并运用所学知识来解决问题的能力，从而培养了他们的数学意识。其实，新教材中的很多内容在编排、设计上，都要求学生通过活动来完成，使他们在玩中学，做中学，以达到“做数学”的目标。总之，数学实践活动为学生提供了自主探索、动手实践、合作交流的时间和空间，并强化了他们在数学学习过程中的主体地位。
二、在探究活动中发现数学
从数学的发展来看，探究活动本身就是充满了观察与猜想的活动。但教师在设计数学活动时，仍然要充分考虑学生主体性的发挥，以使他们自主地经历做“数学”的过程，从而实现数学的“再创造”，并从中感受数学的力量。例如，学生们通过小组讨论后，确定了下图这个坐标系，并由此推导出椭圆的标准方程。
1.创设情景。创设一种良好的数学学习情景，可以激发学生的学习兴趣，使他们如身临其境一般，并积极进行数学探究，从而主动从事数学发现、发明活动。在创设情景中，教师可以通过各种巧妙的方式来设置难点和疑问，以使学生的思维暂时出现困惑或受到阻碍，从而激发他们积极思考，并造成传授新知的契机。
师:（反复进行课件展示，然后问学生）在椭圆定义中，哪些量是已知的？
生：动点与两定点的距离和是已知的，两定点之间的距离是已知的。
2.提出问题。探究性学习是以“问题”为载体，没有问题，就谈不上“解决问题”，更谈不上探究性学习。由于探索和发现问题是探究性学习的开端，因此，在开展探究性学习中应鼓励学生不拘泥于书本，要大胆提出问题，且应敢于质疑，从而培养他们的批判意识和独立思考的能力。教师应将学生提出的问题加以提炼，或引导他们提出有价值的问题，以作为将要探究的问题。
师：（赞许）请同学们一起回答求曲线方程的步骤（建系→设点→列式→化简），并推导出椭圆的方程．
生：取过焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)为椭圆上任意一点，椭圆的焦距是2c（c＞0），那么F1(-c，0)，F2(c，0)，又设P与F1、F2距离之和等于2a（2a>2c）（常数），由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，
又∵ |MF1|= ，|MF2|=
∴+ =2a
师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你们学过什么办法？
生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项、再平方的办法。
师：好，下面我们就一起来完成这部分计算。（师生共同完成）
=2a- 两边平方得：
(x+c)2+y2=4a2-4a +(x-c)2+y2，
即a2-cx=a ，两边再平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)。
3.建立猜想，形成命题。建立猜想是探究获得结论的前提。一般来说，可以通过以下三种方式作为学生提出合理猜想的依据：凭直觉的猜想、凭经验的猜想、凭类比的猜想。假设（猜测）就其结构而言，包含已知事实和推测性结论这两种基本成分，通过这两种成分的搭配，可以明确解决问题的途径，并能够在条件和结果之间构建设想，这是科学探究活动中最重要的特征之一。
师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x、y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？（在这里，数学审美就成为了研究发现的动力。学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察如下图形，让学生思考a与c有何关系。）
师：请结合图形，找出方程中a、c的关系。
生：根据椭圆定义可知a2＞c2，且a与c可以看成RtΔMOF2的斜边和直角边。
师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？
生：方程变化为： + =1（*）
[2]
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文