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文化视角下的第二次数学危机
作者：王存荣 房元霞 王艳华
[关键词] 数学文化数学危机第二次数学危机
在众多的数学专著中，对于数学史上的三次数学危机的描述，都是基于对数学内部矛盾运动的分析。其实，数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛盾，一是有社会文化传统的冲突。本文从数学文化的视角，谈第二次数学危机。
一、数学是一种文化
“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性的影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确定已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”因此，数学特别是现代数学就应被看成一个相对独立的文化系统。然而“数学是一棵富有生命力的树，它随着文明的兴衰而荣枯。”也就是说社会的发展、文明的进步为数学的发展提供了重要的动力和调节因素，所以数学又应被看成是整个人类文明的一个子系统。
二、风波再起：第二次数学危机的产生
一般地说，数学史中所谓的危机就是指在数学的发展中，新的概念、新的方法的出现，与原来有关数学的解释、理解产生了矛盾，新的概念和方法已经无法用现存的数学体系给予解释和说明，因而产生了危机。在微积分的产生过程中，由于无穷小概念及相关运算无法用已有的数学理论给予解释和理解从而造成的危机称为第二次数学危机。这样对数学危机的界定凸显数学内部矛盾的作用。其实，数学危机的产生需要有两个条件：一是数学内部矛盾，一是有社会文化传统的冲突。二者缺一不可。
1. 社会背景和文化传统。
公元前146年，希腊完全被罗马征服。公元一世纪，基督教在古罗马帝国的属地巴勒斯坦兴起。公元313年，君士坦丁（Constantine）皇帝颁布“米兰敕令”，准许基督教徒信仰自由，公元325年明令规定基督教为罗马帝国国教。此后，单纯希腊式的教育内容和组织形式，被教会作为“异端”加以禁止，凡不符合教会口味的世俗学校都在禁止查封之列。与此同时，教会便自办学校。世俗学校渐趋消亡，教会学校取而代之。古罗马帝国的兴起正是古希腊文化和古希腊数学衰落的开始。基督教作为一种宗教，除去信仰之外，还有一个解释、表述以及论证自身的文化需求。在这个过程中，它必须吸收现有的高于自身的文化。因此，在基督教的有关著述中，古希腊的哲学就成为他们可用的工具。基督教最伟大的神学家之一奥古斯丁就是一位柏拉图主义者，他运用新旧约全书中与柏拉图对话相吻合的部分来发挥自己的宗教观点。这就是说，奥古斯丁从柏拉图那里找到了对基督教有利的形而上学的教义。为了发展基督教，教会建立了许多学校，虽然在这些学校里数学的内容很少，但就其范围而言基本上是当年古希腊的四大学科：算术、音乐、几何、天文。古希腊数学是一种思维的形式，是一种认识、表现和解释世界万物的理性方式.对于古希腊数学在这个层面上的理解和运用，基督教神学花费了不少的时间，最终才在基督教神学最杰出的人物托马斯·阿奎那手中得到了完成。 阿奎那取代原来的奥古斯丁教义中的柏拉图主义而把基督教与亚里士多德的理论结合起来，他运用逻辑的方法把亚里士多德的哲学与基督教的理性精神融为一个新的基督教的哲学体系。阿奎那的著作《神学大全》为基督教神学给出了一个全面的全新解释，逻辑推演的三段论式和欧几里得《几何原本》式的结构体系使僵死、沉闷的基督教世界有了新的生命活力。理性在这里开始成为表述上帝行为的工具，神的学说要用数学的理性来论证。这一切使上帝走出了神秘的围幔，走向一个由数学理性建起的台前。这样，在文艺复兴之前，人们终于看见了上帝与数学的对话：上帝按数学的方式设计了世界，从而，对理性的追求、对数学的研究也就是在接近上帝。
欧洲文艺复兴时期从十四世纪开始，到十五、六世纪乃至十七世纪初期已达到高潮，随着古希腊文化在文艺复兴中的复活，古希腊数学也开始引起人们广泛的兴趣和注意。在文艺复兴时期的数学应当说有着双重的作用：一方面它作为数学规律的内在特征，随着人们对它的兴趣而发展自己的方法和理论；另一方面数学又通过自身来强化对世界的理解和解释形式。通过基督教神学于亚里士多德说的结合，人们相信上帝在构造世界时已经把数学规律放在其中了，人们的任务就是发现自然现象背后的数学规律，而每一条隐藏于现象之后的自然规律的发现又都可以被看成上帝存在及其智慧的明证。可以说，这种数学理性精神构成了文艺复兴时期全部科学的特殊背景。
2. 人类文明的瑰宝——微积分的诞生。
17世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学、光学等方面都获得一些新发现。比如，德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动；……这些都成为有力的推动力，激发起人们对曲线研究的热情。而对于数学本身而言，代数这一学科已日趋成熟，使代数越来越成为解决问题的有效工具。1637年解析几何的创立直接促使了微积分的诞生。
17世纪的微积分是围绕下列四种类型的问题的解决而逐步建立起来的：
(1)运动物体在任意时刻的速度和加速度，导致了“瞬时变化率”的研究；
(2)确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向（轨迹的切线方向），以及研究光线通过透视镜的通道而提出求曲线的切线问题；
(3)求炮弹的最大射程的发射角、行星离开太阳的最远和最近距离（即远日点和近日点），导致了函数极值的研究；
(4)寻求行星运动轨道的曲线的长度，行星矢径扫过的面积（曲线围成的面积）、曲线围成的体积、物体的重心与引力计算，导致的一般积分方法。
在历史的发展中，积分的概念比微分的概念产生的早。积分的概念最初是在求某些面积、体积和弧长的求和过程中产生的。以后，求解曲线的切线、函数的极大值、极小值问题等，产生了微积分方法。最后人们认识到积分和微分彼此作为逆运算而关联。
在微积分学的历史发展过程中，古希腊关于“无穷小”的论述及其所发展起来的穷竭法，可以看做积分的萌芽，而文艺复兴、产业革命时期在力学、天文学、物理学、光学等许多领域提出的具体问题则实际促成了微积分的形成；与此同时，数学自身的发展也为牛顿和莱布尼兹最后登上微积分的顶峰做好了准备：在积分学方面，卡瓦列利、费尔玛和沃利斯等人为求取曲边形面积、曲面体体积等问题提供了与近代积分方法相似的内容；在微分学方面，费尔玛、巴罗等人已经从求曲线的切线、求函数的最大值中，提供了有关变化率计算的数学方法。牛顿和莱布尼茨都是微积分思想的集大成者。莱布尼茨和牛顿同时创立了微积分，且与牛顿形成了英吉利海峡两岸双星辉映的灿烂的数学文化。恩格斯指出“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。微积分的诞生是人类迈向茫茫宇宙的一大步。从此，人类有了与自然对话的主动权。
3. 天地间通用的数学——微积分的发展。
微积分诞生之后，数学迎来一次空前的繁荣时期、18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。18世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的，为什么会是这样呢？部分答案是，有许多结果为经验和观测证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷彗星的再度出现。哈雷曾于1684年拜访过牛顿，按照牛顿万有引力定律，哈雷推算出彗星运行轨道不是传统理论中的抛物线，而是椭圆轨道，所以彗星应在一个周期后重新出现。1758年，整个欧洲的科学及天文爱好者，都将目光注视着广阔无垠的天空。因为按照已故英国天文学家哈雷（1656—1742）的预言，这一年将有一颗76年前出现的彗星重新归来。到了这一年年末，这颗盼望已久的彗星终于姗姗而来！自此人们叫它为哈雷彗星。人们在现实中印证了牛顿万有引力定律这一理论，也使许多科学家把微积分称为：天地间通用的数学。另一个原因是，那时是数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发现和揭示这种设计。可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们的追求的精神食粮。
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