首页 -> 2007年第4期
文化视角下的第二次数学危机
作者：王存荣 房元霞 王艳华
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的了谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。并且这场源自数学内部的关于理论和方法的争论最终演变成了基督教哲学对微积分无穷小运算的一个批判运动。高扬这种批判大旗的代表人物就是著名的神学家贝克莱（Berkeley 1685—1753）。他对微积分强有力的批评，在数学界产生了最令人震撼的撞击。贝克莱，18世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他的最著名的哲学命题是：“存在即是被感知”。他认为自然规律是上帝的意旨，是上帝把观念印入人心时所依据的最一般规则。因此，自然科学家的任务在于了解上帝所造的那些标记。1734年，贝克莱发表了一本针对微积分基础的书——《分析学家》。一方面，贝克莱批评微积分中一系列重要概念如无穷小增量、瞬时速度等是“隐晦的神秘物”，是“模糊的混乱”，“无理的荒缪”。另一方面，贝克莱指出微积分方法中的缺陷，其矛头主要指向牛顿的流数法。
牛顿在1704年发表了“曲线的求积”，其中他确定了x3的导数(他当时成为流数)。我们把牛顿的方法意译如下：
当X增长为x+o时，幂x3成为(x+o)3，或x3+3x2o+3xo2+o3。
它们的增量分别为O和3x2o+3xo2+o3，这两个增量与X的增量O的比分别为1与3x2+3xo+o2 。
然后让增量消失,则它们的最后比将为1与3x2。从而x3对x的变化率为3x2。
贝克莱指责说，这个推理是不公正和不明确的。因为在这个推理中，先取一个非零的增量并用它进行计算，然而在最终却由使O“消失”，即令增量为零得出结果。贝克莱指出这里关于增量O的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。这本书的末尾是67个“疑问”。当贝克莱以辛辣的嘲讽语言攻击微积分理论时，由于微积分理论在实践与数学中取得的成功，已使大部分数学家相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此，贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，并称之为贝克莱悖论。由于这一悖论对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，由此掀起：第二次数学危机。同时，贝克莱认为微积分作为一种数学理论违背了几何学的数学原理，而后者恰恰是基督教哲学展开自己表述世界的一种理性依据，所以微积分存在的问题实质上就是基督教哲学中存在的问题。微积分概念不清，缺乏严密的逻辑基础，事实上就是基督教哲学中数学概念的不清楚以及数学表达世界秩序的非逻辑性。作为马克思主义的创始人，马克思本人也曾直接参与有关微积分问题的争论。作为红衣主教的贝克莱和作为马克思主义学说创始人的马克思都积极的投入到了相关的争论之中，这一现象显然表明，西方文化中数学作为一种理性、作为一种宗教或哲学解释世界的形式有着何等的重要性！特殊地，当数学与传统文化出现矛盾时又会产生多么大的震动。
对于西方数学与文化的这种特殊关系，著名的数学家、哲学家罗素指出：“与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法支配着的。数与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表着希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。”
我们可以说，仅有数学内部概念与方法的矛盾是形成不了危机的。例如，就西方文化而言，笛卡尔创立的解析几何无疑也可以说是一种新概念、新方法，但这些与西方文化并没有什么直接的冲突，更没有构成对基督教神学的直接威胁。因此，解析几何的概念及方法就作为一种新的数学方法被顺利的接受了。
作为一种横向比较，我们可以发现，中国古代数学和印度古代数学在其文化体系中都只具有技术层面的应用功能，而没有文化层面的解释功能。从而，在这两种文化传统中，数学在所出现的问题就永远只是技术层面上的问题，而不会对其文化解释系统产生什么影响（中国文化的解释形式是《周易》和阴阳五行构成的解释系统，在印度则是由宗教构成的解释系统），从而也就不会造成任何危机。例如，中国古代数学在有关无穷小的思考与哲学层面的思考毫不相干而不产生矛盾。如庄子和惠施论及无限小时就曾提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ；而数学家刘徽在割圆术中用到无限小时则认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这样无限小就自然而然地出现并接受了，当然也就不会产生数学危机。所以，“第二次数学危机”并非一次纯粹数学意义上的危机，而是一种在数学层面发生的文化危机。
三、胜利凯旋：危机的解决
微积分的广泛应用及其在描述和预测物理现象方面所取得的辉煌成就，使人们（不仅是科学家）普遍接受了微积分。可是，“真正的数学家总是同时在很大程度上也是一个艺术家，一个建筑师或一个诗人。数学家们还在现实世界之外依靠智慧创造了一个理想世界，后者虽然可以从前者领悟到，但数学家试图把它发展成为一个最完美的世界。”在数学家们的共同努力下，到19世纪末，分析的严格化问题得到了解决。柯西建立了严格的极限理论，魏尔斯特拉斯引进了语言，戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！正如著名数学家庞加莱1900年在巴黎举行的第二次国际数学家大会上指出的，“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果他们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻底解决了。在微积分创建200余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
参考文献：
[1] M·克莱因 著.张祖贵 译.西方文化中的数学[M].上海: 复旦大学出版社,2004,9.
[2] 罗素.西方哲学史[M],上卷.北京:商务印书馆,1998.432.
[3] 郑毓信.数学文化学[M].成都:四川教育出版社,2001.145-146.
[4] 武锡环,郭宗明.数学与数学教育[M].成都:电子科技出版社,2001.37.
[5] 郑毓信.数学文化学[M].成都:四川教育出版社,2001.168.
[6] 韩雪涛.数学悖论与三次数学危机[M].长沙:湖南科技出版社,2006.153-154.
[7] 郑毓信.数学文化学[M].成都:四川教育出版社,2001.188.
[8] 郑毓信.数学文化学[M].成都:四川教育出版社,2001.189-190.
[9] 郑毓信.数学教育哲学[M].成都:四川教育出版社,2001.89.
[10]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社,2001.529-530.
[1]