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数学的文化价值和高等数学教育
作者：王存荣
[关键词] 数学的文化价值 高等数学教育
著名数学家、数学教育家波利亚曾联系学生未来的职业情况对思想方法学习的重要性进行了论证。波利亚指出，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识。高职院校毕业的学生在其工作中又有多少学生会用到具体的数学知识呢？虽然目前没有人做过这方面的调查和论证，但是，肯定不会是全部学生在其工作中都用到具体的数学知识。所以，我们在高等数学的教学中，不仅要传授具体的数学知识和技能，也应重视数学的文化价值。本文谈一下数学的文化价值和高等数学教育。
一、数学的文化价值
数学特别是现代数学就被看成一个相对独立的文化系统。同时，由于“数学是一棵富有生命力的树，它随着文明的兴衰而荣枯。”[1]也就是说社会的发展、文明的进步为数学的发展提供了重要的动力和调节因素，所以数学又被看成是整个人类文明的一个子系统。从宏观的角度说，数学的文化价值就是指数学对于社会、乃至整个人类文明进步的特殊意义。本文主要从以下几个方面来论述数学的文化价值。
（一）数学：打开科学大门的金钥匙
数学的重要作用体现在对许多学科研究方法的改革，它使这些学科有经验科学上升为理论科学，有定性科学转变为定量科学。科学史表明，一些化时代的科学理论成就的出现，无一不借助于数学的力量。例如数学对生物学最有影响的分支是生命科学，目前，拓扑学和形态发生学，纽结理论和DNA重组机理受到很大重视，1952年数学家阿罗证明了一个令人不敢相信的定理——阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统，即是说只有更合理，没有最合理，且把这一定理应用于经济学领域，研究出了博弈论，因此作为一名数学家阿罗获得了1972年诺贝尔经济奖。X射线计算机层析摄影（简称CT）的问世，是20世纪医学中的奇迹，数学中的Radon变换是CT理论的核心。首创CT理论的A．M．Cormark(美)及第一台CT制作者C．N．Hounsfield(英)因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。在对《红楼梦》的作者和成书过程等问题的研究上使用模糊数学得出了许多有价值的、令人信服的结论。可见数学对人类智力活动的影响是何等广泛和巨大。
（二）数学：科学的语言
数学能以其不可比拟、无法替代的语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、图像、理论等）对科学现象和规律进行精确而简洁的表达。正如克莱因所说：数学“如同音乐利用符号代表和传播声音一样，数学也用符号表示空间形式和数量关系”。[1]从运用偏微分方程建立的描述电磁规律的麦克斯韦（J．C．Max well）方程组，到把黎曼几何和不变量理论作为其绝妙描述工具的爱因斯坦相对论；从矩阵理论为20世纪20年代海森保(W．K．Heisenberg)和狄拉克的物理学革命奠定基础，到李群和规范场论成为物理学家探索各种力的统一理论的基本工具；从数学为各种现象提供抽象的理论模型，到用计算机语言来实现这些模型的算法，数学语言已成为表达真理必不可少的语言。正如H．Poincare所说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐。”[2]爱因斯坦则更通过与艺术语言的比较专门论述了数学的语言性质，他写道：“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辩哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？他在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”[3]
（三）数学：思维的体操
严密性、抽象性和创造性都是重要的思维品质。数学在促成人们形成这些思维品质中发挥着特别重要的作用。首先，数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性阶段发展到理性阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。数学的公理化方法是数学的逻辑严密性的最好体现。爱因斯坦认为：“文艺复兴时代的科学家把系统的实验同数学方法结合起来。这种结合，使得人们有可能如此确定的用经验来检验他门，结果使得自然科学中不再有意见的根本分歧的余地。”“没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”其次，“数学是研究空间形式和数量关系的科学”，“也是研究模式和秩序的科学”。模式的建构在一定程度上就意味着与真实的分离，从而为社会的创造性活动提供了一个理想的场所；在一定限度内，我们即可单纯凭借“思维的自由想象和创造”去构造出各种可能的量化模式。
（四）数学：理性的精神
数学文化不同于艺术、技术一类的文化，数学文化属于科学文化，是一种理性文化。正如克莱因（M．Kline）指出的：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，试图决定性的影响人类物质、道德和社会生产；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”[1]另外，数学的理性精神还体现在: 对于自身的认识特别是对于自身局限性的清醒认识，可以说数学是唯一严格的证明了自身局限性的学科。例如，著名的哥德尔不完备性定理就清楚地表明了形式化研究方法的局限性，因为，这一定理所断言的即是：任何足够丰富（足以开展出算术理论）的形式数学系统一定是不完备的。也即不可能完全刻画出相应的非形式的（素朴的）概念。
（五）数学: 一门高超的艺术
“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。”[2]数学既然是一门艺术，那么它就具有其自身独特的艺术美——理性美，这就正如庞加莱所说：“我在这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表现美。并非我小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学无关。我的意思是说那种比较深奥的美，这种美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说是结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，这种倏忽即逝的梦幻幻想之美其结果就是不完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身。”[2]
和谐美是数学美的核心，和谐即是雅致、严谨和形式结构的无矛盾性。首先，数学的严谨自然流露出他的和谐，为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力，以消除其中不和谐的东西。比如：数学家们围绕欧氏几何的第五公设探索了上千年，为了微积分理论基础的完善拼搏了200多年。其次，数学的核心内容一直彼此协调、和谐。例如：几何学的四个不同的分支——殴氏几何、射影几何以及两种非欧几何，这些分支看似各不相同，并且有时还彼此不相容、不协调。然而，近代一个最令人欣喜的数学上的贡献表明：射影几何可以被看作是公理性的基础，其它三种几何可以看作是射影几何中的特殊定理，这就是说这四中几何的内容已融合成一个和谐的理论体系。
[2]