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数学思想方法与数学分析教学
作者：马保国
数学思想与方法，是数学知识的精髓，是形成良好认知结构的纽带，也是知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学观念，形成优良思维品质的关键。数学分析是大学数学专业的一门主干基础课，它内容多、理论深、知识结构复杂、思想方法精深，是学习数学专业许多后继课程的阶梯。这门课程包含着丰富的数学知识，数学思想和方法，教好、学好这门课程，对数学专业的师生是件非常重要的事情。探讨数学分析课中数学思想方法，在数学分析课中加强数学思想方法教育，是当前数学分析教学改革的一个重要课题。
一、关于数学思想方法
1．数学思想方法的涵义
所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。数学方法是指人们解决数学问题的步骤、程序和格式，是实施有关数学思想的技术手段。数学思想与数学方法既有联系又有区别。数学思想具有概括性和普遍性，数学方法具有操作性和具体性。思想比方法在抽象程度上处于更高层次，数学思想是数学方法的理论基础和精神实质。思想是源泉、精华，而方法是实践行为的体现。数学思想都是通过某种方法来体现，而任何一种数学方法都反映了，一定的数学思想。因此，我们可以把数学思想与方法，看作统一的整体，称为数学思想方法。
2．数学思想方法的层次性
数学思想方法是伴随着数学科学的产生而产生的，人们最初的数学活动经验实际上就是最原始的数学思想方法；随着数学活动的深入，人们对已有的数学活动经验加以抽象概括，就形成了较高层次的数学思想方法。这种抽象概括，再抽象再概括的不断发展，就产生了更高层次的数学思想方法。由此可见，数学的思想和方法是有层次的，根据数学思想方法的涵义，大致可以将其划分为如下三个层次：
(1)低层次的数学思想方法。即操作性较强的方法，可称为基本技巧型方法。该层次中的方法，基本上是机械的、程序化的、具体的，它们与知识并行共生，其特点是和解题紧密相关，也可以说是一些具体的解题术。例如，数学分析中的复合函数求导法则、积分学中的换元法则等。
(2)较高层次的数学思想方法。主要是逻辑型的数学思想方法，这种方法具有确定的逻辑结构，是普遍适用的推理论证模式。如，类比、归纳、演绎、分析综合、抽象、概括等。这类方法的掌握要靠教师有目的、有意识地从数学教学内容中去发掘，并对学生进行训练和培养。
(3)高层次的数学思想方法。即全局型的数学思想方法。它们较多的带有思想、观点的属性，它们提示的是数学发展中极其普遍的想法，为数学的发展起着指引方向的作用。这些思想方法虽不像解题术那样具体，却牵动着数学发展的全局，或为新学科的诞生起着指导作用。如符号化思想、公理化思想、互逆型思想等。
各层次的数学思想方法，有如下基本特点和关系：
(1)低层次的数学思想方法，经过抽象概括就会上升为较高层次的数学思想方法。因而较低层次数学思想方法是较高层次数学思想方法的前提和基础；较高层次对较低层次有指导意义，而且通过较低层次的数学思想方法，实现自身的运用价值。
(2)越是低层次的数学思想方法，越侧重于具体的一招一式，可操作性强：越是高层次的数学思想和方法越侧重于抽象的思维方式，概括性强。因而人们有时把较低层次的数学思想方法称为数学方法，而把较高层次的数学思想方法称为数学思想。
(3)各层次之间没有明显的界限，所以人们经常将其统称为数学思想方法。尽管如此，在我们的思想上却有必要弄清楚它们各自不同含义和特点。
3．数学思想方法是数学教学的核心
数学思想方法是数学知识的精髓，是数学知识和方法的本质认识，为解决数学问题提供科学方法，是培养智力和提高能力的桥梁。
数学教学内容不仅是一个数学知识的逻辑体系，更重要的是通过知识反映所包含的数学思想方法，反映出它的文化价值。数学学习的过程是知识获取与观念形成同时发生的过程，课堂不仅是学习发生的地方，也是文化观念形成的场所。数学结论不过是学生所学到的数学内容的一部分，更为重要的是对数学的真正认识、数学信念和价值的形成。并且，这种意识和观念极大地影响着学生今后怎样使用所学到的数学。
因此说，数学思想方法是数学教学的核心，数学教学中必须重视对学生数学思想方法的教育，只有这样才能适应时代发展的要求，才能培养出合格的建设人才。
二、数学分析中的数学思想方法
数学分析教材蕴涵丰富的数学思想方法。所谓数学分析思想方法是对数学分析所研究对象的统一的、本质的认识。数学分析的思想方法，一方面指数学分析自身的论证、运算以及应用的手段，另一方面还包括数学分析概念、理论、方法产生及发展规律。学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。
数学分析思想方法也可以划分为三个层次。
低层次的数学分析思想方法，就是指数学分析的基本内容、解题方法，它们可操作性较强。比如极限的计算方法：利用两个重要极限、等价无穷小、两边夹法、单调有界法、罗必达法则、级数法等。再比如，在导数和积分计算中的基本法则，也属于这一层次。
较高层次的数学分析思想方法，是我们从数学分析的基本内容、基本理论、证题方法出发经过分析、归纳而得到的具有普遍性的数学分析思想方法。例如，变换的思想方法，就是数学分析中的一类重要的数学思想方法。在数学分析课中当进行到不同学习阶段，就有相应的变换方法，如求极限中有变量替换法，求导数、求积分中有换元法，在级数中有著名的阿贝耳变换等等。变换的思想方法，在数学分析中的具体表现形式是多种多样的，海涅定理实现了数列极限与函数极限理论方法上的转化，微分中值定理架起了函数与导数之间的桥梁，牛顿莱布尼兹公式实现了微分与积分的转化。变换的思想方法，优点在于它可以训练学生思维的灵活性、敏捷性和创新性，提高解题的速度和能力。构造性思想方法，在数学分析中也是一种比较重要的数学思想方法。在数学分析中常用的构造性方法有：构造辅助函数法；构造点列、子列法；构造开覆盖法；构造区间套法；构造反例法等。在数学分析中，估值思想方法，可以说是用得最多的数学思想方法之一。变换的思想方法主要用在等式的研究中，而不等式的研究更是数学分析中运算的核心。也就是说，在数学分析中大量的是不等式的运算。而估值法实质上是一种不等式运算。在数学分析中经常使用的估值法有：分段估值法；小区间法；逐项累加法；取中值法；阿贝耳法等，它们都可将复杂函数问
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