首页 -> 2006年第5期
数学思想方法与数学分析教学
作者：马保国
题转化为简单函数的问题。
在数学分析中，高层次的数学思想方法有： (1)公理化思想方法。这是现代数学中普遍使用的最基本的一种数学思想方法。它实质上是一种结构论的思想方法。在数学分析中实数的完备性理论中，就体现了公理化的数学思想。这种思想方法能训练学生思维的条理性、清晰性、深刻性，养成“刨根问底”的精神和毅力。(2)符号化思想方法。现代数学的特点之一就是数学尽量形式化、符号化，使其更易于抽象统一，也使复杂的内容与关系更加简洁、清晰，更易于开展复杂的思维活动。它可以训练学生思维的灵活性、敏捷性和创造性，提高解题能力。这一方法不仅为现代数学的发展起了突飞猛进的作用，而且它的意义远远超过了数学本身，它为信息时代、计算机事业的发展创造了条件。(3)互逆型思想方法。数学分析中的互逆型思想方法主要包括概念上的互逆和运算上的互逆两种。概念上的互逆有收敛与发散，各种极限定义及其否定叙述、连续与间断。而运算方面的互逆关系有导数运算与积分运算，级数收敛与函数级数的展开等。学习任何一个数学概念、定理以及考虑各种数学问题时，不仅需要从正面理解，沿正向探索，而且还要从反面理解，沿逆向探索，这样才能对数学概念、性质有更深刻、更全面的理解，才能开阔视野，不至于走入歧途。
三、在数学分析教学中加强数学思想方法教育
1．数学分析教学中加强数学思想方法教育的必要性
数学科学的内容，包括数学知识和蕴涵于知识中的思想方法两个组成部分。概念、定理、公式等知识是数学的外在表现形式，这些知识的记忆是短暂的，而蕴涵于知识中的方法和思想的掌握是长远的。对于知识，其教学价值早已被广大教师所认同，但隐含于知识背后的思想方法的教学价值却未能充分引起人们的高度重视，其中原因主要还是人们对数学思想方法的地位作用认识不够所造成的。实际上，数学思想方法在科学研究中具有举足轻重的地位和作用，具体表现在：一是提供简洁精确的形式化语言：二是提供数量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。因而它具有普遍性和可操作性。正因为如此，在数学分析这样一门大学数学专业中的主干基础课中，培养学生的数学意识，发展学生的数学思想，为该专业的研究和发展提供必要的数学思想方法和工具。从这个意义上讲，就有必要把数学思想方法作为重要的教学内容并落实到数学分析教学的全过程之中。要通过教师坚持不懈地、有意识的、有目的的启发诱导及反复渗透，让学生通过自己的思维活动去逐步理解它、领悟它，从而实现发展学生数学思想方法，提高学生数学素养的目的。
在数学分析教学中，要挖掘并渗透数学思想方法，将数学知识的教学作为载体，把数学思想方法的教学渗透到数学知识的教学中，把数学思想方法纳入到基础知识的范畴，使学生从数学分析的学习中获得教益。强化数学思维和思想方法的培养，提高学生的创造性以及应用数学知识去解决问题的能力。
2．数学分析教学中加强数学思想方法教育的途径
数学思想的传播、数学方法的运用是一个潜移默化的过程，蕴涵在整个教学过程中，在概念的形成过程、定理、推论、习题的推导过程，规律的揭示过程等都是体现数学思想方法的机会。
(1)在教学过程中适时地渗透数学思想方法。在数学分析教学中，可以通过各种概念的形成过程、定理的推导过程、方法的思考过程、问题的被发现过程、思路的探索过程、规律的被揭示过程等等，来向学生渗透数学思想方法。
例如，极限思想方法贯穿于数学分析学习的始终，在教学中要特别向学生呈现出，从有限过程中研究无限过程的对立统一的思维方法。要通过像导数、定积分等数学分析中的重要概念的教学，教会学生用极限思想方法来解决问题，而不是仅仅停留在概念本身上。
(2)通过课程内容小结、课前复习和课后总结提炼概括数学思想。数学思想方法，可以通过数学分析的各种内容表现出来，而同一数学思想方法又常常可以出现在许多不同的知识点里，因此在每次课或每节、每章教材内容结束或复习时，把知识所揭示的本质因素，从思想方法的角度进行分析概括，弄清章、节知识或问题解决过程中集中反映那些数学分析思想方法。
例如，在讲完不定积分一章内容之后，对各种不同类型的不定积分的计算方法进行归纳小结时，可概括性地向学生指出不定积分的计算实质上是数学中的化归思想，即化未知为已知。所以我们首先要熟记基本积分公式和法则，然后对一般的、复杂的不定积分，则可通过恒等变换、换元法、分部积分法以及其他方法，转化为基本积分进行计算，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
(3)开设专题讲座，升华数学思想方法。在数学分析教学中，可适时地开设专题讲座，讲清数学分析中重点知识的来龙去脉、内涵外延、作用功能等。这是使学生掌握数学思想方法，进一步认识外显的数学知识的有效途径。
开展数学思想方法的教学，可能会遇到一些思想障碍，比如说，学生水平低，无法进行数学思想方法教学，课时紧，没有时间进行数学思想方法教学等。我们认为，数学思想方法的教学要紧密结合教材，在传授知识的同时进行，它不在知识教学之外，要融于知识教学之中，重在教师的有意识的点拨与渗透。
知识的记忆是暂时的，方法和思想的掌握是长远的；知识使学生只受益于一时，方法和思想将使学生受益终牛。
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