谁先发现杨辉三角

    杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

    11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1其中每一横行都
表示（a+b ）n （此处n=1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，）展开式中的系数。杨辉三角
最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1 组成的，而其余的数则是等于它肩上
的两个数之和。后者实质上就是后来发现的组合数的基本性质：

    C + C = C R = 1 N (R-1)(N-1)R(N-1) NR （  ，? ，  ）按照这一规律，可
得到任意高次的二项展开式的系数。

    上述二项系数所组成的三角形数表在欧洲称之为巴斯加三角形。在欧美国家的
数学史著作中，虽然近年来也承认并不是巴斯加最早发现了它，但却始终认为它来
自欧洲或阿拉伯。直至1972  年出版的《古今数学思想》（[ 美]M·克莱因著）仍
然坚持这种观点，认为“（a+b ）n 在n 为正整数时的展开式，那是13  世纪的阿
拉伯人就已经知道了的。在1544  年左右，史提非（Stifel）引入了‘二项式系数
’这个名称，并指出怎样从（1+a ）n-1 来计算（1+a ）n ”。还说类似上述杨辉
三角的三角形数表“是塔塔利亚、史提非和斯提文都已知道的，并被巴斯加用来得
出二项展开式的系数”。反而对中国古代数学家在这方面居于世界领先地位的开创
性贡献只字不提，这实在是极不公正的。

    其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

    中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩
的一页。

    杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261  年所著的《详解九章算法》一书
中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说它“出释锁
算书，贾宪用此术”。贾宪是11  世纪人。这就表明，杨辉三角的发现远早于1261 
年，也不是杨辉首先发现的，而是杨辉之前约200 年的贾宪创造的。

    科学史上的任何发明创造都有其客观背景和演变过程。杨辉三角的发现渊源于
高次方程的数值解法。中国古代数学家们对高次方程数值解法的探索经历了长时期
的发展过程。那时候把求解一般方程的数值解法叫作“开方法”。这是因为一般方
程的数值解法，都是由开方的方法推演出来的。特别地，开平方和开立方，实际上
正是求解x2=A  和x3=B  的一种数值解法。早在魏末刘徽作注的《九章算术》中，
就有完整的开平方法和开立方法。刘徽探索了这种方法的来源，作出了这种方法的
几何解释。例如要求完全平方数55225 的平方根，相当于求一面积为55225 的正方
形的边长。注意到55225 的平方根为一个三位数，可设正方形的边长为100a+10b+c
（即a 、b 、c 分别为所求平方根的百位、十位、个位上的数字），然后逐一确定
a、b、c 。为此，刘徽把正方形划分成如图所示的七个部分，其中1 、4 、7 三部
分分别是边长为100a、10b 、c 的正方形。

    作了这样的划分以后，首先确定百位数字的a 使它为满足（100a）2 ≤55225 
的最大正整数。易见a 等于2 。此处（100a）2=4000  为正方形面积减去的正方形
1 的面积，得15225 。接着确定十位数字b ，使它为满足2 ×100a×10b ＋（10b ）
2≤15225  的最大整数。不难知道这里的b 等于3 ，而2 ×100a×10b+（10b ）2 
为2 、3 、4 ，三部分面积之和，它与正方形1 的面积之和为（100a+10 ）2bc ，
此时余下的面积为2325。最后确定个位数字c ，使2 （100a+b）c+c=2325。此处c 
等于5 （若被开方不是完全平方数，则上式等号添加不等号，把上述手续继续进行
下去）。于是（100a+10b+c）2=55225 ，即55225 的平方根为235 。用类似的方法，
借助于正方体，可进行开立方运算。根据刘徽的几何解释，古代数学家们不难体会
到下列恒等式：



    （a+b ）2=a2+2ab+b2 （a+b ）3=a3+3a2b ＋3ab2+b3 在这以后的数百年中，
我国古代数学家们一直没有停止对更高次的开方法的研究。宋元时期是我国古代数
学史上群星灿烂的黄金时代，这一时期诞生了许多杰出的数学家，留下了不少出色
的数学著作。贾宪就是这一时期的人，他是北宋天文学家楚衍的儿子。贾宪创造了
新的开平方法和开立方法，《详解九章算法》称之为“增乘开方法”。以开平方为
例，因为有等式（a+b ）2=a2+2ab+b2=a2+ （2a+b）b 则可以把一个数的平方根分
成几位数字来求。先求出平方根的最高位数字a 的平方而得到余数。如若原来的数
可以表达成（a+b ）2 的形式，那末这个余数一定能写成（2a+b）b 的形式。此时，
我们用2a  去试除余数，看看商数是多少，然后定出平方根的次高位数字b 。假如
（2a+b）b 刚好等于这个余数，则原数的平方根就等于a+b 。否则，把a+b 当成原
来的a ，而将上述手续继续进行下去。如果要求一个数的立方根，则根据等式（a+b）
3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+ （3a2+3ab+b2）b 先求出它的最高位数a ，再从原来的数
减去a 的立方而得到余数。然后用3a2 去试除余数，定出立方根的次高位数b 。再
从余数减去（3a2+3ab+b2）b 。如果得到新余数等于零，则立方根就是（a+b ）；
不然又可把a+b 当成a 继续进行这种步骤。例如要求4913  的立方根，按照贾宪创
造的这种方法，就有下述算式10 749133 2 3 10 300100039133 3 10 7 2107 493 
2 3559 3913 3 322 222 2+===+ ++ +aagba ab ba ab b bLLLL L ××  ×( ) 所
以有34913 17 =这种方法正是我们今天教科书中介绍的方法。而类似的方法在欧洲
则要到1804  年和1819  年才分别由意大利数学家鲁菲尼与英国数学家霍纳提出，
比贾宪迟了大约800 年。

    贾宪创造的开平方法和立方法摆脱了《九章算术》中刘徽阐释的几何方法的约
束，开辟了寻求纯代数法的道路，使得这种“增乘开方法”有可能推广到更高次的
情形去。虽然几何直觉启示人们发现了不少新命题和新方法，但是这种直观性的思
维对更高维的问题却往往无能为力。《九章算术》中记载的开平方法和开立方法，
依靠几何直观，无法解决更高次的开方问题，只有另辟蹊径，才有希望在这里取得
突破。在这一领域中，我们的先辈进行了长时期的摸索和试探。从刘徽到贾宪，中
间相隔了800 年左右的时间。取得这种突破的艰巨性就可想而知了。更加令人自豪
的是，《九章算术》提出了完整的开平方法和开立方法后，好像是等待了世界800 
年，最后还是由中国人自己把这个问题彻底解决。贾宪在找到了开平方和开立方的
新方法后，继续向前迈进，终于解决了任意高次幂的开方问题。

    用开平方和开立方的“增乘开方法”解决了四次以上的开方问题，首先必须知
道四次以上二项展开式的系数。到这时，杨辉三角的诞生就成为非常必要的了。而
早已熟知的二次、三次情形下的二项展开式的系数，则又为贾宪探求二项系数所排
成的三角形数表的规律准备了富有启发性的特例，从而为贾宪最终完成这一杰作提
供了可能条件。从刘徽解释开平方和开立方的几何意义，到贾宪发现杨辉三角，从
而完成更高次的开方问题，这实在是合乎逻辑的必然结果。有了杨辉三角，就可以
求得任意高次二项展开式的系数，因而也就从理论上来说解决了任意高次的开方问
题。早在11  世纪中叶便解决了开任意高次幂的开方法问题，这不能不说是中国古
代数学家的一项杰出的创造。杨辉的《详解九章算法》收录了许多早已失传的各种
数学著作中的一些问题和算法，“增乘开方法”和“开方作法本源”图就是通过杨
辉著作的阐释才得于留传至今。在这个意义上，把“开方作法本源”图冠于杨辉之
名也是当之无愧的。

    当然，欧洲数学家在这方面的成就也是不能抹煞的。巴斯加的贡献在于发现了
二项展开式的系数与组合数之间的联系。为牛顿发明二项式定理（即不必利用（a+b）
c-1 而直接得到（a+b ）n 的展开式，并把指数n 的从正整数推广到分数和负数）
奠定了基础。值得人们继续探索的一个问题是，欧洲人究竟是从什么角度去发现二
项式系数所组成的三角形数表的。如果说这也来自于对开方问题的研究，那末如前
面提到的，开平方和开立方的鲁菲尼—霍纳法要到19  世纪初才出现；如果说它直
接来自于对组合数的研究，那末正如欧美数学史家所说的那样，在巴斯加之前，对
组合数的研究，是和二项式方面的工作无关的。

    总而言之，二项展开式系数所组成的三角形数表的发现，即使似文字记载为依
据，也是1261  年杨辉的《详解九章算法》为最早的记录。在中亚细亚，阿尔·卡
西载有类似数表的《算术之钥》发表于1427  年，而欧洲首先发现的这种数表，是
印在1527  年德国数学家阿皮纳斯所著的一本书的封面上。《详解九章算法》比它
们早了二三百年。如果从11  世纪的贾宪算起，则早于它们四五百年。

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