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莱布尼茨：难以企及的人物
作者：蔡天新
英国哲学家怀特海早年写下三卷本的巨著《数学原理》（一九一○——一九一三，与弟子罗素合作），而《科学
和现代世界》（一九二五）则是他晚期的代表作。在这部几乎无所不包的自然哲学论著中，怀特海把十七世纪称为“天才的世纪”，并以此来为其中的第三章命名。
大概正是因为“天才的世纪”这个词的诱惑力，驱使我在过去五年里写下了三篇科学随笔：《费尔马最后的定理》、《牛顿在他的非典时期》和《隐居的法国人：帕斯卡尔与笛卡儿》。也就是说，我已经谈论了十七世纪的四位科学天才——三个法国人和一个英国人，现在我必须要说到的是哥特弗里德·威廉·莱布尼茨——那个世纪里最为博学的人，“一个千古绝伦的大智者”（罗素语，《西方哲学史》），一个地地道道的德国人。
一六四六年七月一日，莱布尼茨出生在德意志东部名城莱比锡，他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授，身为教授千金的母亲是他父亲的第三个妻子。他出世时，父亲已经年近半百了，老莱布尼茨亲自培养幼子。八岁时，他就如饥似渴地阅读已故父亲留下的各种拉丁文著作了。不到十五岁，莱布尼茨便上了莱比锡大学攻读法律。他在二十岁那年递交了一篇出色的博士论文，因为年纪太轻（黑格尔认为是学识过于渊博）被拒，加上此前母亲也已去世，他永远离开了故乡。第二年年初，纽伦堡的一所大学授予他博士学位，但他并没有接受该校教授职位的聘书。那以后，莱布尼茨也没有接受任何一所大学的正式聘请，但这不等于说，他对政治的兴趣胜于学术。
据说莱布尼茨是在大学学习欧几里得《几何原本》时，对数学产生浓厚兴趣的。不过，和前面谈到的那三位法国人一样，莱布尼茨也是在业余时间从事研究工作。究其原因，十七世纪的大学仅是教会的附庸，而哲学仍是神学的奴婢。与此同时，“大多数数学家处在亚里士多德的经院哲学阴影的笼罩之下，数学发展的动力来自于与学院相对抗的文艺复兴时期的人文学者”。我们可以用笛卡儿来与莱布尼茨做一比较，两人都喜欢旅行，只不过前者以军人的身份，后者则作为政客的幕僚；前者在驻扎异国时萌生了解析几何的思想，后者是在肩负外交使命时完成了微积分学的发明，而他们取得这两项举世瞩目的成就时都不到而立之年。
在莱布尼茨二十岁那年，他还递交过另一篇论文《组合的艺术》，帮助他获得了在莱比锡大学讲授哲学的资格，同时使他成为近代逻辑学的先驱和创始人。这篇论文的主要内容是在命题中使用组合的理论，这一理论成为构成一切命题的一种基本方法。更重要的是，这一方法后来被应用到人类思想的表达和真理的阐释中。莱布尼茨先确认，所有命题都是主词—谓词形式，如“树叶是绿色的”。也就是说，牛顿只是发明了“连续”的微积分学，而莱布尼茨不仅用自己的方法独立做到了这一点，同时还开启了另一个方向的数学分支——“离散”的组合分析，尽管后一个思想直到十九乃至二十世纪才变得真正重要起来。
巴黎时期的数学家
如同其他跨越多个领域的天才一样，莱布尼茨也把他的青年时代奉献给了数学。不过，我们今天很难相信，这样一位天才人物对数学最初的热情，竟然来自于一种政治野心。在莱布尼茨出世之前，欧洲刚刚经历了宗教冲突和民族运动勃发的“三十年战争”时期，虽然这场战争起始于波西米亚，损失最惨重的却是西班牙和德意志，尤其是后者，在备受邻国的蹂躏之后，丧失了大部分人口和土地。不过，存活下来的众多地方诸侯的力量反而得到了加强，他们基本上摆脱了神圣罗马帝国皇帝的统治，取得了实际上的主权。那时候的德意志就像两千多年前中国的春秋战国时期那样，每个诸侯下面都有首相、大臣和一批谋士。
大约在莱布尼茨取得博士学位的第二年夏天，他在一次旅途中遇到了美因茨选帝侯（有权选举罗马皇帝的诸侯，美因茨因为谷登堡在那里发明欧洲活字印刷术闻名遐迩）的前任首相。这位睿智而开明的首相尽管已经卸职，仍有着巨大的影响力，他对这位学识渊博、谈吐幽默的年轻人印象深刻。在他的诱导下，莱布尼茨随同前往美因河畔的法兰克福，那儿当时属于美因茨的郊外（如今这两处地方的关系刚好颠倒了过来）。其时，法国已成为欧洲的主要力量，太阳王路易十四的势力如日中天，随时可能进犯北方邻国。有鉴于此，身为选帝侯法律顾问助手的莱布尼茨除了帮助庇护人编撰一部民法以外，还不失时机地献上一条锦囊妙计。
这条妙计是：用一个让法国征服埃及的诱人计划去分散路易十四对北方的注意力。随后，二十六岁的莱布尼茨便被派往巴黎，在那里度过了四个年头。虽然那时候笛卡儿、帕斯卡尔和费尔马均已过世，但莱布尼茨却幸运地遇到了荷兰来的数学家惠更斯，后者也是钟摆理论和光的波动学说的创立者，当时是拿了路易十四的年俸来到巴黎。莱布尼茨很快意识到自己在科技落后的德国所受教育的局限性，因此虚心地学习，其中对数学的兴趣尤甚，并得到了惠更斯的悉心指导。由于莱布尼茨的勤奋和天赋，也由于那个时代的数学基础十分有限，当他离开巴黎的时候，已经完成了主要的数学发现，而原先的计划则被搁置脑后。
莱布尼茨第一个重要的数学发现是二进位制，他用数“0”表示空位，数“1”表示实位。这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如，3=11，5=101。他本人后来确认，中国人在三千年前的《易经》六十四卦里就藏匿了这个奥妙。与此同时，莱布尼茨也研制成了机械计算机，他改进了帕斯卡尔的加法器，以便用来计算乘法、除法和开方，而当时一般人都还不大会乘法运算。其中一台被他带到伦敦，另一台被汉诺威图书馆收藏，还有一台被俄罗斯的彼得大帝用作送给中国皇帝的礼物（这件礼物似乎下落不明）。但莱布尼茨并没有把自己创立的二进位制用于他研制的计算机。
莱布尼茨在数学上的最大贡献无疑是在无穷小的计算方面，即微积分学的发明。这是科学史上划时代的贡献，正是由于这一发明，使得数学开始在自然科学和社会生活中扮演极其重要的角色，同时也给后来喜欢数学的人提供了成千上万的工作岗位，就如同二十世纪电子计算机的出现一样。不幸的是，莱布尼茨不得不与英吉利海峡对岸的牛顿分享这一荣誉。事实上，他们两人是独立完成发明的（牛顿或许更早发明，但莱布尼茨发表在先），并且所用的方法也不同。牛顿使用的“流数法”有着运动学的背景，其推导更多是属于几何学的，而莱布尼茨则受到帕斯卡尔的特征三角形的启发，他的论证更多地用到了代数学的技巧。
正是由于代数学方法的使用，加上莱布尼茨本人对数学形式有着超人的直觉，使得我们今天熟知的微积分学教程基本上采用了他的表述方式和符号体系。除此以外，莱布尼茨还创立了形式优美的行列式理论，并把有着对称之美的二项式理论推广到任意个变数上。当然，最让我们感到愉悦的可能要数他从巴黎来到伦敦旅行期间所发现的圆周率的无穷级数表达式，即
π/4=1/1-1/3+1/5-1/7+……
有了这类公式，自古以来对圆周率的精确计算的人为竞争（祖冲之曾领先西方十一个世纪）便永远结束了。
逻辑学和形而上学
在巴黎逗留时期，莱布尼茨除了潜心数学王国之外，不忘学习和研究新哲学，他设法接触到两位法国前辈帕斯卡尔和笛卡儿未曾发表的著作，并亲自动手把它们抄下来。据说，笛卡儿的《指导我们心智的规则》在作者身后半个世纪才得以在阿姆斯特丹出版，依据的正是莱布尼茨当年的手抄本。可是莱布尼茨并非笛卡儿的追随者，相反，他是反笛卡儿主义的，尤其在物理学方面。更有甚者，虽然他成名于巴黎，但出于对本民族的热爱（在他的一生里法兰西一直构成对德意志的威胁），他始终是反法的。除了试图向路易十四献上远征埃及的诡计以外，他还曾提出由西印度群岛（比如古巴）的糖做成的廉价朗姆酒去切断法国白兰地的销售，以此削弱法国的经济实力。
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