梅文鼎对传统数学的研究当以《方程论》为最早。此书写成之后，他曾抄送一部给好友方中通并赋诗言志，诗前序写道：“方子精西学，愚病西儒排古算，著《方程论》，谓虽利氏（指利玛窦）无以难，故欲质之方子。”②的确，传统数学中有关线性方程组的内容正是当时传入的西方数学所不具备的，梅文鼎写作此书的一个动机就是提醒学人不要认为数学是西方的专擅。在这部书中，他还提出了将传统的“九数”划分为“算术”和“量法”这两大类的思想，他说：“夫数学一也，分之则有度有数。度者量法，数者算术，是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田，稍进为少广，为商功，而极于勾股；算术最浅者粟布，稍进为衰分，为均输，为盈朒，而极于方程。方程于算术，犹勾股之于量法，皆最精之事，不易明也。”①在梅文鼎的心目中，中国古代的勾股术就是西学之所谓几何，他通过《勾股举隅》和《几何通解》两书系统地论述了这一观点。《勾股举隅》首先用图验法证明了“弦实兼勾实股实”之理，实为刘徽、赵爽之后中国数学家对勾股定理的又一个证明。书中又借助图验法说明勾股形各边及其和差间的关系，并创造了已知勾股较与弦和和、勾股较与弦和较、勾股积与弦和和（或弦和较）、勾股较与弦和较（或弦较较），求其他元素的四类算法。《几何通解》的副题为“以勾股解《几何原本》之根”，书中首先列出《几何原本》中的命题，然后借助勾股和较术中的公式来证明。 　　当时《几何原本》只有前6卷译本，梅文鼎在《测量全义》、《大测》等书透露的线索的启发下，对后几卷的内容进行了探索，多数成果都被写进他的《几何补编》一书之中。例如，他研究了正多面体及球体的包容关系，在西方这一课题乃是开普勒（J.Kepler，1571—1630）构造其宇宙模型的基础。他又研究了两种半正多面体即西方文献所称之“阿基米德体”。他还提出了球体内容小球的问题，并指出其与正多面体及半正多面体的关系。梅文鼎的《方圆幂积》是讨论球的表面积和体积与相应柱、台、锥体的关系，内中运用了剖割和旋转等多种技巧，对后来的研究者很有启发。 　　在当时传入中国的西方科学知识中，三角学恐怕是较难被人理解和接受的一部分内容。中国古代虽然有发达的勾股术，但一般角的概念却相对地缺匮，而“三角法异于勾股者，以用角也”①。梅文鼎作《平三角举要》和《弧三角举要》，可以说是中国人撰写的第一套三角学教科书。他又有《环中黍尺》，借助投影图解法来研究各种实际的球面三角问题，内中“三极通机”法与古希腊托勒密（Ptolemy，约85—165）的“曷捺楞马”（Analem-ma）法殊途同归。 　　对于中西之争，梅文鼎基本上能够持中平公正之心，这与他对数学本质的看法是有关系的。他在《中西算学通序》中写道：“数学者征之于实，实则不易，不易则庸，庸则中，中则放之四海九洲而准。”②他又说：“数学者②梅文鼎：“复柬方位伯”，《绩学堂诗钞》卷一，乾隆二十二年（1757）刊本。①梅文鼎：《方程论》“发凡”《梅氏丛书辑要》本。 　　①梅文鼎：《平三角举要》卷一，《梅氏丛书辑要》本。 　　②梅文鼎：《中西算学通序》，《绩学堂文钞》卷二，乾隆二十二年（1757）刊本。所以合理也，历者所以顺天也。法有可采何论东西？理所当明何分新旧？”③同时他对西学中的内容也不一味盲从，而主张用“平心观理”和“义取适用”的态度去对待。他通过《笔算》、《筹算》和《度算》三部著作，分别介绍西方的笔算、纳皮尔算筹和比例规，但考虑中国文字采用直书形式，遂“易横为直以便中土”④。他在《历学疑问》中介绍了西方古典天文学中的小轮学说和偏心圆理论，但对采用这种模型统一地说明行星运动有所怀疑。在《五星管见》一书中梅文鼎提出了一种旨在调合托勒密和第谷（TychoBrahe，1546—1601）两种体系的“围日圆象”说，使行星运动理论得到一个自治的解说。③梅文鼎：《堑堵测量》卷一，《梅氏丛书辑要》本。 　　④梅文鼎：《筹算》卷一，《梅氏丛书辑要》本。