第二节 垛积术





  对于一般等差数列和等比数列,我国古代很早就有了初步的研究成果。

  北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创“隙积术”,开始研究某种物品(如酒坛、圆球、棋子等)按一定规律堆积起来求其总数问题,即高阶等差级数求和问题,并推算出长方台垛公式。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,丰富和发展了沈括的隙积术成果,提出了一些新的垛积公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差相等。对这类高阶等差级数的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”。朱世杰对于垛积术作了进一步的研究,并得到一系列重要的高阶等差级数求和公式,这是元代数学的又一项突出成就。例如,朱世杰在《四元玉鉴》中提出了著名的三角垛公式:11 2 11111 2pr r r r prnpn n n n p!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )+ + + -=.=++ + +LL其中p=1,2,3,4.。在这一串三角垛公式中,后式恰好是把前式结果作为一般项的新级数的求和公式。又如岚峰形垛公式:11 2 11121 2 1 1pr r r r p rrnpn n n n p p n!( )( ) ( )( )!( )( ) ( )[( ) ]+ + + -=.=++ + + + +LL·也是很精彩有趣的。他还研究了更复杂的垛积公式及其在各种问题中的实际应用。总结和归纳出这些公式并不是一件轻而易举的事情,是有相当难度的。朱世杰究竟如何得到这些公式,由于史料缺载,至今尚不清楚。朱世杰《四元玉鉴》所载“古法开七乘方图”,比杨辉所引贾宪“开方作法本源图”(贾宪三角)多出了平行于两斜边的许多斜线,有些学者推测,从这些斜线相连的数字关系可以得出一些有意义的结论,其中包括推导出某些垛积公式①。① 杜石然:《朱世杰研究》,载《宋元数学史论文集》,科学出版社1966 年版。