第六节 纵横图





  纵横图,亦称幻方,是把从1 到n2 的自然数排列成纵横各有n 个数,并且使同行、同列及同一对角线上n 个数的和都相等的一种方阵。纵横图是中国古代数学中由来已久的比较特殊的内容之一。《数术记遗》载有“九宫算”,甄鸾注称:“九宫者,即二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”这实际上是一个三行纵横图,各行、各列及两条对角线上的数字之和都等于15。“九宫图”,后世通称“洛书”,其起源当早于汉代,同时它也是世界上现在已知最早的纵横图。南宋杨辉在《续古摘奇算法》中列出了n=3,4,5,.,10 行的各种纵横图,如十行纵横图称为“百子图”等,并对一些纵横图的构造方法进行了研究。如洛书数的构造方法是“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”等。此外,他还记录了聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等圆形或环形的新型数字组合图,这些都可说是纵横图的进一步演变和发展①。丁易东《大衍索隐》也收有与杨辉攒九图和连环图相似的图。明清时期一些数学家如程大位、王文素、方中通、张潮、保其寿等对纵横图进行深入研究,取得了更加丰富多彩的结果。过去,② 顾观光:《九数存古》卷5。

  ③ 《梦溪笔谈》卷18。

  ① 参见李俨:《中算家的纵横图研究》,见李俨《中算史论丛》第一集,科学出版社1955 年版。纵横图大多是作为开动脑筋启发智力的一种数学游戏,而现在则已成为组合数学的重要内容,在程序设计、图论、组合分析等方面得到了广泛的应用。