首页 -> 2008年第10期
试论约束半无限优化问题的解法
作者：刘 瑾
[关键词]约束半无限优化问题 最大熵原理 解法
约束半无限优化问题是个比较难解的问题，在计算机辅助设计和工程设计中，经常遇到。对于这个问题，有很多人进行了研究，但是计算方法一般都比较繁杂。笔者利用最大熵原理，把约束半无限优化问题转化为光滑函数的无约束优化问题，因此，可以直接利用现有的无约束算法求解。
1.约束半无限优化问题：
在问题(4)中，(y)可视为 (x，y)等于 (x)的密度函数。求解问题(4)的工程可看成是消除不确定性的过程，而不确定性可用连续熵
（5）
来度量。由极大熵原理，问题(4)与下面的双目标规划有密切关系：
（6）
采用加权求和法处理问题(6)，得
（7）
其中p>1是常数。显然，问题(7)当p无限增大时可任意接近问题(4)，为简便，可考虑下面的规划问题
（8）
对于问题(8)，很容易地求出它的最优解为
其中V(Y)为紧集Y的体积，称gp(x)为极大值函数
(x)的极大熵函数。
定理 2.1.gp(x)≤(x)， xRn。
定理2.2.若(X，y)是连续可微的，则函数gp(x)也是连续可微的，且
（10）
上述定理2.2表明，当p充分大时，光滑函数gp(x)可以很好地近似不可微函数 (x)。
3.约束半无限优化问题的解。
对问题构造如下的一个可微函数
定理3.1. 假若函数0(x)有下界。设xk为 pk，qk(x)的 -最优解，其中当k+∞时，k 0，pk +∞，qk+∞。若limk +∞xk=x*，则x*为约束半无限优化问题的最优解。
证明：由于xk为pk，qk(x)的 k-最优解，则对任何x Rn，
pk，qk(xk) ≤ pk，qk(x)+ k，（11）
由定理2.1和式(11)有
由(12)知x*是问题的可行解，否则，当k+∞时，(12)左边趋于+∞，而右边有界，引出矛盾。另一方面，
此即说明x*是约束半无限优化问题的最优解。由定理3.1可以看出，当p，q充分大时，p，q(x)的最优解即为问题约束半无限优化问题的近似解，因此可把问题约束半无限优化问题化成一个可微函数的无约束优化问题:
这里p，q充分大，对于问题约束半无限优化问题，我们构造如下的算法。
第一步：给定充分大的正数p，q。
第二步：求min p，q(x)的近似解x*.x*即为问题约束半无限优化问题的近似解。下述例题中，各参数分别取为p=105，q=105， =10-8。从计算结果(表)看出，该方法计算速度快，精度高。
表：例1—例3的计算结果
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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