首页 -> 2008年第8期
巧用圆锥曲线第二定义解题
作者：姚忠安
[关键词]圆锥曲线 第二定义 轨迹 离心率 最值
圆锥曲线第二定义：平面内动点M ( x,y ) 到定点 F的距离与它到定直线 l 的距离的比是常数e（e > 0）的点的轨迹，当0
（一）求圆锥曲线的轨迹方程
例1.求经过点M(－1, 2 ) ，以y轴为准线，离心率e = 的点 P ( x,y) 的轨迹方程。
解：依题意，所求的点 P 的轨迹方程是以 y 轴为右准线的椭圆方程，设椭圆的右焦点F（x0, y0）因为P点在椭圆上且过椭圆的右顶点，由第二定义知
，即，y0 = y，所以椭圆右焦点为 F （ ,y ） ，又∵ M （－1, 2）在椭圆上，由定义，有，即 ，化简得 P 的轨迹方程为：
例2.求以 F (5, 0) 为右焦点，x = 2 为右准线，离心率 e = 2 的圆锥曲线的轨迹方程。
解：依题意，所求曲线的轨迹方程为双曲线，设 M (x, y) 为曲线上任一点，由圆锥曲线第二定义， 有，即 ，化简得
例3.已知圆锥曲线过点 A (－4, －8) ，它的一个焦点为 F (－4, 0) ，对应于这个焦点的准线方程为 x = 4，求这条曲线的轨迹方程。
解：设圆锥曲线上的任意点 M (x, y)，由第二定义知：
即化简得所求曲线的轨迹方程为：y2=-16x
由以上几例可知，在求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上的点四个条件中的三个，用圆锥曲线定义来解决比较简单。
（二）求圆锥曲线的离心率
例4.过椭圆的左焦点F 作直线与椭圆交于A、B 两点，| AF | : |BF | = 5 : 3 ，且直线与长轴的夹角为60°，求椭圆的离心率。
解：如图，作椭圆的左准线l过A、B两点分别作左准线的垂线，垂足分别为 C、D，由圆锥曲线的定义知：
即，椭圆的离心率为e =
例5.已知一抛物线以椭圆 的左焦点 F（－c, 0）为顶点，以椭圆的右焦点F2（ c, 0）为焦点，P为抛物线与椭圆的一个交点，如果椭圆的离心率满足 ，求e的值。
解：如图，设椭圆的左准线与抛物线的准线分别为l1、l2，过点 P 作l1、l2的垂线，垂足分别为 A、B，由圆锥曲线第二定义可知，
即 = e ①
又∵F2是抛物线的焦点，∴=②
将①、②代入条件得= 即椭圆的左准线与抛物线的准线重合，易求得准线方程为x = －3 c，
即 =故椭圆的离心率为e=
（三）求有关圆锥曲线的一类最值
例6.已知点 A (－2, 2) ，点F是椭圆的右焦点，P 是椭圆上一动点，求|PA | +| PF | 的最小值。
解：由已知条件，易求得椭圆的离心率e = ，右准线方程为x= ，如图，分别过P、A点作l的垂线，垂足分别为 P'、A' ， 显然| AA' |=+ 2 =，由圆锥曲线第二定义，知 ， 得 | PF |=e| PP' | =| PP' |
∴|PA|+|PF|=|PA|+ ×|PP'|=|PA|+|PP'|≥|AA'|=
∴|PA| + |PF|的最小值为
例7.已知双曲线的右焦点为F，点A(2, 1)，P点为双曲线右支上一动点，求|PA|+ |PF |的最小值以及此时 P 点的坐标。
解：由已知，双曲线的离心率e= ，右准线l的方程为x=1，分别过 P、A 两点作 l 的垂线，垂足分别为P'、A'
显然| AA'|=2－1=1，由圆锥曲线第二定义知
即|PF|=e|PP'|=|PP'|
∴|PA|+ |PF|=|PA|+ × |PP'|=|PA|+|PP'|≥|AA'|=1
故|PA|+|PF| 的最小值为 1
此时，P点为AA'与双曲线右支的交点，易求得P点的坐标为P( ,1 ）。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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