首页 -> 2007年第8期
高校数学化归思想方法例析
作者：任 睿 包素华
[关键词] 化归思想 数学思想 思维能力 思维模式
1.化归思想的含义、原则及思维模式。
化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法，所谓“化归”，从字面上可以理解为转化和归结之意．而在数学方法中所论及的“化归思想”方法是指在研究和解决有关数学问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段将问题进行变换使之转化、归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思想方法。
掌握化归思想的原则，把握化归思想的方向是根本所在．熟悉化、简单化、直观化、和谐化和特殊化是一切化归思想应遵循的基本原则。
化归思想的一般思维模式为：原问题—>新问题—>新问题解答—>原问题解答。
但是如果问题较复杂，往往通过一次“化归”还不能解决问题，可连续地施行转化，直到归结为一个已经能解决或较易解决的问题，其“化归”的次数是随着问题的难易而定。
2.化归思想方法的分类。
(1)化复杂问题为简单问题。
有些数学问题结构复杂，若用常规解法过于繁琐．对这类问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。
分析：若直接利用极限方法求比较繁琐，但将其转化为定积分，就很容易求出。
(2)化抽象问题为具体问题。
很多数学问题是各种信息的高度浓缩和抽象，如果我们沿着抽象化的思路考虑，往往问题不易解决；如果我们把问题具体化，可使解决问题的途径简捷。
例2(概率中的排列组合问题)四个不同小球，放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有几种。
分析：按一般途径考虑，小球不同，盒子有编号，还恰有一个空盒，头绪很多，不好考虑；若把问题看作四个不同小球分成三堆，再把它看成3个元素占四个位置排列，就比较具体了。分三堆1、1、2；有种，排列数为，则有
=144种放法。
(3)化非规范性问题为规范性问题。
例3 设一袋中装有m只颜色各不同的球，有返回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的颜色的数目，求 E（X）。
分析：这是一个非规范性的问题。若令：
(4)化综合问题为单一问题。
综合题涉及多方面的数学知识，解题时需要多种方法，有时综合考虑比较困难，而化成单一问题就容易解决了．
例4.求由两条抛物线y=x2，x=y2所围成的均质平面薄板的重心。
分析：这是一个物理和几何的综合性问题,但可以化为单一的定积分问题。
解:两抛物线的交点为(0,0)与(1,1)，则该平面薄板的重心坐标为
(5)化一般问题为特殊问题。
一般与特殊是事物的两个方面，是辩证的统一，由一般结论可推之特殊事物的本质属性.
例5. 计算曲线积分
其中L为从点A(0,0)经曲线y3=x2到B(1,1)的一段弧。
分析:如通过一般的计算曲线积分的方法,直接化为对 的定积分,则至少要计算两个比较复杂的定积分,而从曲线积分与积分路径无关的条件来考虑,作为特殊情况,可以通过改变积分路径简化计算.
(6)化实际问题为数学问题。
将实际问题转化为数学问题，实际上就是建立数学模型的问题．
例6.（关于最值的实际问题）欲制造一个容积为50m 的圆柱形锅炉，问锅炉的高和底半径取多大值，用料最省？
分析:用料最省的问题就是锅炉的表面积最小的问题.
解:设锅炉的底半径为r，则它的表面积为
即当圆柱形锅炉的高和底直径相等时用料最省。
参考文献：
[1]王嘉年.浅谈数学中的化归思想[J].中学数学教学,1997,(3).
[2]林伟.化归思想在数学解题中的应用[J].中学数学教学,1995，(6)．
[3]吴炯圻，林培榕.数学思想方法 [M].厦门:厦门大学出版社，2001,(1).
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