首页 -> 2007年第1期
关于满秩矩阵的概念
作者：汤茂林
[关键词] 满秩矩阵定义改进
定义是真实的命题，它的真实性不是从逻辑推理中得来的，而是人们根据实际需要所作的规定。对于矩阵的秩来说，是研究线性代数必不可少的内容，在当前流行的线性代数教材中，关于满秩矩阵的定义却是各有特色，有些只是形式有别，而且实质也有所异。从不同定义 所得出的结论也有所不同，以至容易混淆，甚至相互矛盾。这种现象在教学中造成很大的困难。笔者认为这是在一定程度上与某些教材对满秩矩阵的定义表达得不确切有关。
由于篇幅所限，这里不能一一列举，为叙述方便，现将两种不同满秩矩阵的定义摘录如下：
定义1设A为m×n矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零。而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩（A）=r，或r（A）=r。当r(A)=min(m,n)时，称矩阵A为满秩矩阵。[1]
定义2矩阵A中不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A)，称r(A)=n的n阶方阵A为满秩矩阵，r(A)pn 的n阶方阵A称为降秩矩阵。[2]
由定义1，B是满秩矩阵，由定义2，因B不是方阵，也不是满秩矩阵。
由定义 2 可知，n阶方阵可逆的充要条件是A满秩（r(A)=n）。若按定义1，A为满秩。则A不一定是方阵。
从以上两种定义形式不难看出，对满秩矩阵的定义和由定义所引出的结论是非常混乱的。因此，对满秩矩阵的定义亟需改进，以求统一形式，统一认识就显得非常必要了。
事实上，关于满秩矩阵的定义，根据实际需要，我们给出如下定义是较为恰当的。
定义：一个m×n 矩阵如果它的秩等于m，则称它是行满秩矩阵；如果它的秩等于n，则称它是列满秩矩阵；若m=n且该矩阵是行满秩矩阵 （也是列满秩矩阵），那么这个矩阵就称为满秩矩阵（或称满秩方阵），否则就称为降秩矩阵 。
由此，前面的矩阵A是行满秩矩阵 ，而B是列满秩矩阵。
是降秩矩阵 。
显然满秩矩阵与非奇异矩阵或可逆矩阵是等价的，因而，由定义所引出的结论也就统一了。
参考文献：
[1]赵树源．线性代数[M]．中国人民大学出版社，2001．
[2]林升旭，邓爱平．线性代数[M]．华中科技大学出版社，1999．
[3]姚慕生，高汝熹．高等数学（二）线性代数第一分册[M]．武汉大学出版社，1999．