首页 -> 2006年第11期
数学大观
作者：李尚志
为了上这门课，首先要解决的问题是：给文科的研究生上数学课要达到什么教学目的?如果是学经济类的“文科”，学生在专业学习和研究中本来就需要用到许多具体的数学知识，他们可以去学习理工科的相应的数学课。但是，如果是学语言、文学、哲学这样“真正意义”的文科，对他们有用的其实不是某些具体的数学知识，而是数学的思想和观念。而且，他们中的不少人，当初之所以选择文科而没有选择理工科，很大程度上是由于对数学的害怕、讨厌甚至仇恨。如果再板着面孔将一些具体的数学知识硬灌给他们，不但不可能让他们掌握这些数学知识，反而会强化他们对数学的反感和仇视，有什么好处呢?因此，我一开始确定的教学目标就是：1．展示数学的神奇、精彩、美丽的本来面目，在一定程度上赢得文科学生对数学的好感和兴趣；即使达不到这一目的，哪怕能够降低他们对数学的反感和仇视也好。2．让文科学生对数学的一些重要的思想方法有所了解和体会。
怎样才能引起文科学生对数学的兴趣，并帮助他们对数学的思想方法有所了解和体会?如果只是说一些赞扬数学的华丽词语，讲一些数学思想方法的高谈阔论，很可能会适得其反，不但不能让学生喜欢数学，懂得数学，反而使他们对数学更反感。我的计划是通过一些具体的例子来体现数学的精彩和美丽，思想与方法。金庸的武侠小说《倚天屠龙记》中张三丰教张无忌太极剑，先是张三丰通过一定的招式来演示，然后张无忌跟着学习。张无忌使出来的招式竟然与张三丰的大不相同。张三丰不但不责怪张无忌离经叛道，反而要求张无忌将他所演示的招式彻底忘掉，才算是真正学会了。这个故事虽然显得有些离谱，但是却体现了一种高明的教学方式；张无忌需要学的不是太极剑的具体招数，而是太极剑的意识和理念。然而意识和理念必须通过具体招数来体现。张无忌透过具体招数学到了意识和理念，然后又将这些招数抛弃，在实战使用中通过自己随心所欲使出来的另外的招数体现了学到的意识和理念。简而言之就是：通过有招学无招，达到无招胜有招。我设计的文科数学的课程就采用了这样的思路：通过数学中一些重大的问题及其解决的过程，来体现解决问题的思路。尤为重要的是：最关键的最原创的思路往往是最简单的，因而是最精彩的。我从最简单的3+2=5开始，以此为例说明数学的抽象就是“难得糊涂”，就是从不同的事物中忽略不同点而提取共同点。将“3个手指加2个手指”、“3支铅笔加2只铅笔”、“3个乒乓球加2个乒乓球”混为一谈，忽略了肉做的手指和木头做的铅笔的差别、长的和圆的差别，只关心数量的多少，这就是“3+2=5”。用字母表示数，如乘法公式(a-b)2=a2+b2-2ab，字母所代表的数的多少也忽略了，提取出共同的运算规律。更高水平的“糊涂”是这个公式中的字母a、b甚至可以不代表数而是代表向量，得到的就是几何学中的余弦定理。这只是一个例子。整个课程的目的就是为了传播理念而不是为了传授“招数”，但课程的内容全部是由“招数”组成，这就是“通过有招学无招”。
“3+2=5”是幼儿园的算术；用字母表示数是中学数学；即使再举一些微积分的例子甚至“有理数更多还是无理数更多”这样的例子，至多也只是大学本科的数学。这样“低等”的数学能作为研究生的数学课程吗?研究生的课程水平当然应比本科生课程更高深。但是对于文科研究生的数学课程来说，水平更高不一定体现在数学知识的难度，而可以体现在思想的深度和哲学的高度。“抽象就是难得糊涂”，“通过有招学无招”说的就是“普遍性存在于特殊性之中、抽象存在于具体之中”的哲学观点。针对文科学生的特长，整个课程的各个例子及其叙述方式，既体现一定的数学思想，也体现一定的哲学思想。为了增加本课程的人文气氛，还举了不少金庸的武侠小说中的例子来说明这些思想，并且采用了诗歌的语言来体现数学内容和数学思想。例如，在讲复数时不是强行定义i2=-1，而是通过诗句“平方得负岂荒唐，左转两番朝后方”给出了一个几何模型：将“左转90°”的变换记作i，则i2就是“左转两番”，也就是左转180°，就是向后转，相当于用-1去乘。又如，诗句“星移斗转落银河，月印三潭伴碧波。保短保长皆变换，能伸能屈是几何。”不但给出了线性变换的两个例子：“星移斗转”(绕轴的旋转)、“月印三潭”(关于平面的对称)，还体现了关于几何变换的不变量的著名的爱尔兰根纲领。除了有诗歌，还有音乐：利用等比数列计算了1、2、3、4、5、6、7，i各个音的频率，再利用计算机编程播放出来。其目的，是希望改变数学在文科学生中死板枯燥、恐怖冷峻的成见，代之以既英姿飒爽又和蔼可亲的本来面目。
这个课程叫什么名称也使我费了不少心思。既然是“通过有招学无招”，最先想到的是“数学思想概论”、“数学的思想与方法”这一类的名称。但又觉得这样的名称过于板着面孔，没有亲切感，缺乏人文气息。想了好几个月也没有想出一个满意的名称。直到2005年暑假，我在成都出差，北航研究生院一位工作人员打我的手机催我赶快确定课程名称。当时我还坐在出租车上在熙熙攘攘的大街小巷穿行。也许是受天府之国人杰地灵的人文气氛的启发吧，突然想起念中学时就背熟了的范仲淹的《岳阳楼记》中的一句“此则岳阳楼之大观也”，当即决定将课程名称定为“数学大观”，就是说，它是数学的一幅写意画而不是工笔画。不敢说这个名字就是最好的。但在后来上课的时候向学生解释了我为什么要为这门课程取“数学大观”这个名字，发现学生喜欢这个名字。
经过近一年的策划，被我称为“数学大观”的这门课终于在2006年上半年付诸实施了，每周一次课，上3学时，共上了6周，总共18学时。作为一门课程，自然要有一个考试。我没有按传统的数学课那样出一些数学题让学生去解答，而是让每个学生写一篇文章实话实说地谈他们的感想体会。这既是对学生学习效果的考试，也是对我的课程设计及实施的效果的测试。下面附上的是从北航人文社会科学学院行政管理专业一位学生的心得体会《数学原来可以如此精彩》中摘录出来的一部分内容：
在经过了6周的“数学大观”课程的熏陶之后，在李老师生动且深入浅出的讲授下，令我感触颇深的是对数学这门课程全新的认识，数学原来并不是只是为解题和考试服务，数学原来不仅仅是数字游戏，数学原来也不只是一群资深而不苟言笑的专家们所独占，数学原来也是人生
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