首页 -> 2006年第7期
让抽象变得显然
作者：李尚志
我在20年以前开始讲“线性代数”课时就开始建设这门课程了，“数学实验”是1997年开始建设的，在建设这两门课程的时候都不可能知道教育部以后要评精品课程。那时建设课程的目的就是努力把学生教好。不是为了评选精品课程而是为了教好学生，这就是我建设精晶课程的经验。因此，如果我的讲课能够对于学生产生好的教学效果，就是我感到最欣慰的事情。
有一位学生在网上发了一个帖子，题目是《大学时代影响我的人生的10件大事》。我不知道他是谁，只看得出他以前是学计算机专业的一个学生，听过我的课，现在美国留学，仍然学计算机专业。他所说的“大学时代影响我的人生的10件大事”中，有半件就是“选修了李尚志教授的‘线性代数’课”。他这样描述我讲的这门课程：“复杂抽象的概念和理论经过他的描述，似乎成了显然的东西。”
“线性代数”是大学最重要的基础课之一。比起另一门最重要的基础课“数学分析”或“微积分”来，“线性代数”的内容要少得多。但不少学生感到学起来并不容易。主要困难是太抽象。比如，微积分中的导数可以理解为切线的斜率、运动的速度，定积分可以理解为求图形的面积、由速度求路程，这都比较自然，容易理解。而线性代数从一开始就是一个接一个复杂抽象的定义，好象从天而降狰狞可怕的妖魔鬼怪。比如：行列式为什么要这样定义?矩阵为什么要这样相乘?向量到底是有方向和大小的量，还是数组，还是定义了加法和数乘的任意非空集合中的元素?线性相关、线性无关是什么意思，有什么用处?都是这样的妖魔鬼怪。
作为一个长期讲授线性代数课程的教师，我努力要做到的一件事就是要让学生明白：这些表面上复杂抽象的概念和理论，其实都不是妖魔鬼怪，并不狰狞可怕，而是和蔼可亲平易近人的。这些概念和理论，都是为了解决一定的问题应运而生的，是自然而然产生的。
从这个学生的体会中，我高兴地看到，我的这番努力至少在他身上达到了预期的目的。我是怎样达到这个目的、产生这样的效果的?下面是在我编著的“十五”规划教材《线性代数》(高等教育出版社出版)的前言中选取的一些主要内容，可以说明我的指导思想和具体做法。
一提起抽象，给人的印象就是莫名其妙、晦涩难懂、脱离实际、没有用处，总之是一个令人害怕的贬义词。然而，抽象并不是线性代数特有的，也不是从大学开始的。比如，幼儿园的小孩就要学3+2=5，这是抽象还是具体?怎样教小孩3+2=5？是先教加法的定义，然后再按照定义来做3+2=5吗?加法的定义，幼儿园没教过，小学和中学也没教过，然而小孩们却学会了加法。不是靠定义学会，而是通过例子学会了加法。比如，可以教小孩数自己的手指来学3+2=5，3只手指加2只手指就是5只手指。也可以数铅笔，3支铅笔加2支铅笔就是5支铅笔。假如已经数过了手指，又数过了铅笔，一个细心而胆大的小孩发现手指是肉做的，铅笔是木头做的，举手问老师：“5是肉做的还是木头做的?”老师怎样回答?假如又数了5个乒乓球，发现手指和铅笔是长的，乒乓球是圆的，再问：“5是长的还是圆的?”老师又怎样回答?也许老师会斥责这个不听话的调皮小孩：“好好听课，不要胡说八道!”。然而，这样的小孩才是聪明的小孩，会思考的小孩。他注意到了5只手指、5只铅笔、5个乒乓球的差别，这确实是聪明的表现。但只是注意到差别还不够，还要让他忘掉这种差别，忽略这种差别，将肉做的5只手指、木头做的5只铅笔“混为一谈”，将5个长的物体(手指和铅笔)和5个圆的物体(乒乓球)“混为一谈”，忽略它们的差别而只关心它们的共同点：数量的多少，这才学会了3+2=5，这才能够将3+2=5用到千千万万的其他例子中，如3本书加2本书，3张桌子加2张桌子等。要让小孩学会忽略这些差别，不是一件容易的事情。这正如郑板桥说的：“聪明难，糊涂亦难，由聪明而糊涂尤难。”这种忽略差别的过程，就是“由聪明而糊涂”的过程，也就是数学的抽象的过程。抽象不是从天而降，而是来自于实际，来自于具体的例子。然而，抽象又没有停留于实际，而是“脱离”了实际：它脱离了具体的例子，舍弃了不同例子的不同点而提取了它们的共同点，这样才能应用到更多更广泛的实际例子中。有一个电视节目的时事评论员常说：“许多看似不相干的事情，其实都是相互关联的。”我们可以说：“许多看似不相同的事情，其实都有共同点。”从不同的事情中发现共同点，研究共同点，得到放之四海而皆准的真理，用到更多的不同事物中去，这就是抽象。这样的抽象不是没有用处，反而是神通更广大。数学由低级到高级的过程，就是抽象的程度由低到高的过程，也是应用的范围由狭窄到广泛的过程。幼儿园的3+2=5忽略掉了大小、长短、原料的差别，只关心数量的多少。初中的(a—b)2=a2+b2-2ab将字母a、b所代表的数的多少也忽略掉了，只关心它们的共同的运算规律。更进一步的“糊涂”是：公式(a—b)2=a2+b2-2ab中的字母a、b可以不代表数而代表几何向量，将其中的乘法理解为向量的内积，公式照样成立,画出有向线段来表示公式中向量，如下图：CA=a，CB：b，则BA=a-b则公式(a-b)2=a2+b2-2a·b的几何意义就是｜BA｜2=｜CA｜2+｜CB｜2-2｜CA｜｜CB｜cosC
这就是余弦定理!当C是直角时就是勾股定理!只不过一念之差，在乘法公式(a—b)2=a2+b2-2a·b中“难得糊涂”，将数与向量“混为一谈”，就立即得到了余弦定理和勾股定理，数学的抽象的威力由此可见一斑!
我在念研究生的时候，导师曾肯成教授经常给我们指定一些经典著作让我们读，并且轮流到讲台上去讲，他在下面听，向讲的人提出各种问题。通常他并不问某某定义怎样叙述、某某定理怎样证明，而是问：“书上为什么要写这个内容?不写可不可以?”这样的问题很难回答，但我们不得不努力去思考怎样回答。假如我们在讲线性代数时问：“书上为什么要写矩阵和向量空间?为什么要写线性相关和线性无关?可不可以删去?”应当怎样回答?前人在发明这些内容的时候都是为了解决一定的问题。写进教科书中的内容，更是经过历史的检验被证明是最重要最有用的东西。课本上的定义和定理的叙述，每一句话甚至每个字都是经过多少年多少人的反复推敲得到的，字字值
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