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“探究式”数学课堂例谈
作者：冯 敏
这种教学方式的特点是学生通过尝试练习，探究教师提出的问题，以经历知识的形成过程，从而把数学知识纳入到新的认知结构。
[例5]在教学七年级下的“分式”这一节内容时，教师先让学生计算 的近似值（规定不能使用计算器）。于是学生们通过查表查出 ≈2.828，然后求得 ≈0.3536，学生感到计算量很大，太麻烦了。教师顺势提出，能否避免这种繁琐的计算呢？学生的探究欲望被唤醒了，他们经过小组讨论，认为要避免繁琐的计算，应使分母中不含根号。于是教师就问怎样用学过的知识化去分母中的根号呢？学生说平方，但根式的值变了；有的想到利用分式基本方法，把分子与分母同时乘以 ，就可化去分母中的根号，即 = = ≈ ≈0.3536接着又有同学说应该先化简分母再算，即 = = ≈ ≈0.3536。这时教师进一步引导学生找这类问题的共性，即 = = ，此时就可引入分母有理化及有理化因式这两个概念了。这一关通过后，再进而让学生探究 型的计算。经过这样步步深入，学生就学会了分母有理化，同时也使思维得到了深化。
6．“自主活动”式探究。
这个教学方式的特点是在教师创设的情景中“掩卷深思”，由学生自己去发现与众不同的东西，在与原有知识结构的矛盾冲突中，通过个人对问题的操作、交流、反省主动建构新知，从而经历了知识再创造的过程。它指出：数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程。
[例6]例如在学习“直线与圆的位置关系”一节，可采用下列探究性学习：
（1）复习“点与圆的位置关系”（目的是后面探究“位置关系”的参考）；
（2）创设问题情景：请一位同学朗读巴金《海上日出》的其中一段；
（3）引导学生观察思考：“太阳从海平面浮出到海面，直至跳出海面”这一过程的画面中含有什么几何图形？
（4）请你画出这一过程中所含平面几何图形的草图，并且思考这些图形之间的位置关系如何？
请你“像科学家一样”，用你的观点命名这三种位置关系；
你能再举出一些生活中的实例，说明直线与圆具有上述三种位置关系吗？
你能用什么特征区分三种位置关系？（让学生充分探究：交点个数、d与r的数量关系或其它如时间等）。
你能归纳出探究上面问题的观点和方法吗？（运动的观点、运动与位置的关系、运动与时间的关系、运动与静止的辩证关系……生活实例中抽象数学的方法等）
通过上述的自主性探究活动，使学生体验了自己从生活实例中抽象出数学图形和数学概念的方法，并能像科学家一样命名自己的发现，进一步探究它们之间具有的内在联系和各自特征，由此完成了对新知的主动建构过程，而且培养了品德，渗透了数学思想和方法。这样，教师对一个知识点的教学过程也就自然完成了。
7．“数学实验”式探究。
这个教学方式的特点是引导学生从实际生活经验出发，在自主活动中创造数学，理解数学对象的实际意义。它是《数学新课程标准》中关于“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的学习教学方式的应用，让学生经历其中，亲手实验，才会感悟“需要产生数学”的历史，由此体会数学的价值，体会前人创造数学的人生价值，激发学习的兴趣，从而自觉地关注和探究数学知识的形成和应用过程。
[例7]在学习初三“二次函数”这一章时，设计这样一个背景题：用长20M的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
为了解决这个问题，先设计学生操作实验如下：
观察和调查校园环境，利用已有环境的条件，设计如下方案：用长20M的篱笆围成一个长方形的生物实验基地；
画出图样，并提供利用有关自然环境资源的说明，标注图样尺寸和面积；
尽可能设计多个方案，比较哪个恰当？哪个方案的基地面积最大？
（大致方案：一面靠墙、两对面靠墙、一组邻边靠墙、四面都不靠墙）
选择利用一种自然环境资源的设计方案，写出面积y与长方形基地的一边长x的函数关系式；
对比已学过的函数形式，请你像科学家一样命名这种函数；
用选取多个x值的方法 ，探究当x为何值得时，y有最大值，并求出这个最大值；
写出实验报告，课堂交流实验成果。
学生个体通过对本实验的设计和探究，普遍理解了“需要产生数学”的道理；理解了面积y随着边长x的变化而变化的“函数关系”，增进了对函数概念的理解；体验了二次函数的形成和产生过程，了解了二次函数可以求最值等……。
“数学甚至在最纯的与最抽象的状态下也不与生活分离，它恰恰是掌握生活问题的理想方式”。因此我们讲解数学的抽象内容也不应把数学与其来源割断，“——请尝试做一下实验，当一回科学家！”数学实验正是引导学生从实际生活经验出发，在自主活动中创造数学，理解数学对象的实际意义，使学生在探究能力上有了一定的培养和提高。
8．“社会实践”式探究。
这个教学方式的特点是教师组织学生通过社会调查收集资料与数据，对数据进行分析，利用学过的知识建立数学模型，进而解决问题。
[例8]在初中各年段的学习中，教师可以结合课程的内容，适当地布置一些学生力所能及的社会实践活动。如学了《一元一次方程的应用》后，让学生去城区各银行调查储蓄的利率、利息税等情况，确定最佳储蓄方案；学了《一元一次不等式》后，让学生去城区各旅行社了解出行费用及调查团队优惠措施，确定班级出游的最优价格；学了《概率与统计》后，让学生去城区各个体育彩票销售点了解“20选5”、“6+1”、“双色球”、“中国足球彩票”等各种彩票的玩法，计算各种彩票的中奖概率等等。
教师的手段就是把数学尽可能地变得生动有趣，尽可能地拉近与生活经验、自然常识和社会现象的距离，首先让学生感到喜欢，然后化难学为易学。通过这些社会实践活动，锻炼了学生的活动能力，同时又使他们认识到数学在实际生活中的应用，从而激励他们学习数学的兴趣。
以上介绍了一些教师在日常的数学教学中所采用的“探究式教学”方式。应该说，这些教学方式仅是教学中体验较深的几种，它们之间是互相联系的，不是孤立的，是强调教学过程中各自的不同侧面，往往要根据实际情况加以整合体现。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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