首页 -> 2008年第9期
从一道试题看数学语言的严密性
作者：陈敬东
无独有偶，人教版五年级数学教材第124页练习二十四中有这么一道题目：
五（1）班21名男生1分钟仰卧起坐成绩如下（单位：次）：
1923262928323435413331252731 36372431292630
（1）这组数据的中位数和众数各是多少？
（2）如果成绩在31—37为良好，有多少人的成绩在良好以上？
第二问孩子答“有一人”。我问他为什么说只有一人。他说，只有一人的次数是37以上的，而31——37为良好，现在问题问的是“良好以上”，所以只有一人！而教学参考书上给出的答案是10人。看来出问题在怎么理解“以上”了。
事实上，“以上”与“以下”的理解并没有规定性的的概定。先来看一下一段材料（笔者从网上下载的）：
我国目前采用的空气污染指数分为五个等级：
①污染指数在50以下对应的空气质量级别为一级，即优；②污染指数在50以上、100以下对应的空气质量级别为2级，即良；③污染指数在100以上、200以下对应的空气质量级别为3级，即轻度污染；④污染指数在200以上、300以下对应的空气质量级别为4级，即中度污染；⑤污染指数在300以上对应的空气质量级别为5级，即重度污染。也可以表述为一级：空气污染指数≤50“优级” ；二级：空气污染指数≤100“良好” ；三级：空气污染指数≤200“轻度污染”；四级：空气污染指数≤300“中度污染” ；五级：空气污染指数＞300“重度污染”。在这段材料中，我们发现，“以下”往往包含标数本身，而“以上”则不包含标数本身。
新教材本身证明了这种说法。同样是人教版五年级数学教材第124页练习二十四中的第3题：
某地区2004年4月1—10日空气污染指数如下表
（1）这组数据的中位数和众数各是多少？
（2）空气污染指数在101—200是轻度污染，在100及100以下为良或优。在这10天中空气质量为良和优的有多少天？
说法同下载的资料相同！我们注意到在这道题目中有“在100及100以下为良或优”的表述，这样的表述很明显地告诉学生“100以下”不包含“100”。学生以此推断“良好以上不包含良好”应该是教材明确的引导。
那么，现实生活中，我们说“以上”或“以下”时，到底包含不包含标数本身，看来要特别说明。继续举个例子。新的《劳动合同法》中关于试用期期限是这样规定的：“劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。”在“关于贯彻实施《中华人民共和国劳动合同法》的有关规定（征求意见稿）”中的第42条就专门解释：《劳动合同法》第十九条第一款中的劳动合同期限“三个月以上”、“一年以上”、“三年以上”包含三个月、一年、三年；“不满一年”、“不满三年”不包含一年、三年；第四十四条第一款中的“六个月以上”包含六个月。之所以要作这样的解释，就是因为“以上”有可能出现歧义理解，为了便于司法处理，有必要特别说明。
具体到一道涉及“以上”这类的数学题，我们认为也应该特别说明。比如上述这道题目就可以表述为“良好及良好以上的有多少人”，那就非常明确了。
因为数学是一门逻辑性严密的学科，数学语言既是数学知识的重要组成部分，又是数学知识的载体，各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握，实质是对数学语言的理解、掌握。数学语言具有逻辑性、严密性、科学性。数学语言的表述要力求缜密、严谨、准确，要力求精练、清晰、无歧义。严谨、准确是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”；清晰、精练对培养思维的独立性与深刻性有特效。我们的教科书、辅导书，都是孩子们学习数学语言的规范蓝本，在逻辑性、严密性、科学性等方面更要做好表率。