首页 -> 2008年第7期
浅谈数形结合在数学教学中的应用
作者：刘丽海
形结合建构概念，提高学生解题能力”的应用略举数例，以供讨论。
一、数形结合，巧建构
建构主义认为，学生学习活动的本质是：学习不是对教师所授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学概念、法则、定理、公式，通常是公认事物以及事物间的内在联系，是比较抽象的概念，“数形结合”可以将抽象的概念转化为比较清晰、具体的事物间内在的联系，便于学生掌握和理解。
例1：人教版数学（必修4）“三角函数的图像与性质”一节教学。教材首先安排学生观察物体作简谐运动的运动轨迹，然后运用学生在物理中已有的认知基础，指出简谐运动的图像就是正弦曲线或余弦曲线。在有了直观印象后，再引导学生探索正弦函数、余弦函数图像的画法。
分析：本节教学的重点、难点在正弦函数图像的画法及正弦、余弦函数图像间的关系、变换。
教师可直接引导学生思考：“怎样作正弦函数的图像”？根据代数函数的学习习惯，学生易采取“坐标取点法”作图。但由于要求出三角函数纵坐标不太容易，于是在操作中引起认知冲突。
教师再启发学生：“能否不计算而得到三角函数值”？通过复习单位圆中三角函数线的知识，让学生对单位圆中的函数线与三角函数值之间的等价关系有一个直观感受，并借助信息技术，生动形象地画出正弦函数的图像。
学生在经历“代数取点法”到“几何描点法”的思考过程中，既丰富了作图技能，更深刻体验了数形结合思想在建构概念中的应用价值。
例2：一元二次不等式的解法探索。
分析：由于一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间存在着本质的内在联系，判别式就是联系这些知识的纽带。此时学生已有了“一二元次方程和二次函数的相关基础知识”，教学时可先安排考察特殊的一元二次不等式，如x2-5x＞0（＜0）的教学。
教师可引导学生思考：y=x2-5x与一元二次方程x2-5x=0的根的关系。由 于△＞0，方程有两个根x1=0，x2=5。于是由函数零点和方程根的对应关系易知：方程的两个根x1=0，x2=5就是二次函数的零点。然后利用函数的直观图像1观察：当x＜0时，函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即x2-5x＞0；当0＜x＜5时，函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即x2-5x＜0，于是，求x2-5x＞0（＜0）解集的探索水到渠成地完成了。
进而从特殊推广到一般，使二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0、不等式ax2+bx+c＞0（＜0）间建立起本质的联系。显然，学生会以?荠=b2-4ac为线索，运用函数图像清晰地把一元二次方程和一元二次不等式的解的情况反映出来，构建起良好的数学认知结构，提高了数学教育的效益。
例3：平面向量数量积的分配律（ + ）?荠 = ?荠 + ?荠 证明。
分析：由数思形，引导学生理解（ + ）?荠 和 ?荠 + ?荠的几何意义分别为：向量（ + ）在向量 方向上的投影、 在 方向上的投影与 在 方向上的投影的和。为此，构造图2。OA1，A1B1，O1B1分别为向量 ， 与 + 在向量 上的投影。而OA1+A1B1=O1B1，易得，（ + ）?荠 = ?荠 + ?荠 。
二、数形结合，妙解题
1． 以形助数，代数问题几何化
以形助数，代数问题几何化的解决策略是利用问题的几何意义，绕开代数运算思路，另辟新径，出奇制胜。
例4．已知：0＜x＜1，0＜y＜1
求证： + +＞2
分析：本题数与式的结构具有明显的几何意义。由每一个根式的结构可以联想到解析几何中的两点间的距离公式，它们分别表示点（x，y）到点（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）的距离公式，于是找到它的几何“模型”。
解：在直角坐标系中，确定点A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（1，0），构造一个正方形ABCD（图3），设点P（x，y）为正方形ABCD内的一个动点，
则 + +=|PA|+|PB|+|PD|+|PC|，连接AC、BD，显然|PA|+|PC|＞|AC|，|PB|+|PD|＞|BD|于是|PA|+|PB|+|PD|+|PC|＞|AC|+|BD|=2 ，结论得证。
2． 以形助数，巧用函数图像
例5：（1992年高考题）若loga 2＜logb 2＜0，则有
（A）0
分析：此题的解决策略可借助函数与图像的对应关系直观判断。根据题意可先画出y=loga x和y=logb x的简图，作直线x=2分别交两函数图像于A、B两点。由loga 2＜logb 2＜0知，两点都在x轴的下方，且点A（2，loga 2）在点B（2，logb 2）的下方。当0＜a，b＜1时，图像越靠近x轴，底数越小，所以选择（B）。
3． 以数辅形，几何问题代数化
很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解决这类问题的策略是 “形”中觅“数”。主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，将几何问题代数化，以数辅形，使问题获解。
例6：已知向量 ， ，满足条件， + + = ，且 |=| |=| |=1，△P1P2P3为正三角形。
证明：设点Pi（cos?琢i，sin?琢i）（i=1，2，3，且0＜?琢1＜?琢2＜?琢3＜2?仔）在单位圆上，由向量运算及恒等原理可得：
cos?琢1+cos?琢2+cos?琢3=0
sin?琢1+sin?琢2+sin?琢3=0
即cos?琢1+cos?琢2=-cos?琢3 （1）
sin?琢1+sin?琢2=-sin?琢3（2）
由（1）2+（2）2得：cos（?琢1-?琢2）=-
则?琢1-?琢2=- 。同理，?琢2-?琢3=- 。于是，可证△P1P2P3为正三角形。
数形结合，直观易发现解题途径，且能避免复杂的计算与推理，可大大简化解题过程，起到事半功倍的作用。以上几例，让人感到数与形的巧妙结合在建构数学概念与数学解题中有“出奇制胜”之用。因此，在教学中，我们应提醒学生，学习数学不能满足于记住定理、法则、公式，而要根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，合理地引导数与形的相互变换，使问题化难为易，化繁为简，达到开拓思维视野，提高解题能力，提升数学素养的作用。
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