首页 -> 2008年第7期
例析整体思维在数学复习课的实施
作者：何莲萍
教学实验表明,当学生进行整体思维时,得到的是整个经验和情感的支持,调动了思维的积极性。具有整体思维风格的人,也有较强的创造性。数学素有“训练思维的体操”之称，在教学中引导学生掌握思维方法,是提高学生思维能力的重要环节。本文以数列为例,说明整体思维在复习课中的实施。
例1已知一个等差数列，它的前n 项的和为25，前2n项的和为100，则它的前 3n项的和是多少？（高考题）
解析 常规解法：学生根据题意很容易列出方程组na1+ d=25
2na1+ d=100
并设法解方程组。这种方法思路自然，但学生十之八九求不出答案，因为学生不知道将n当作常数来解关于以a1和d为主元的方程组。即便少数学生知道用主元法解方程组从中解出a1与d，再求S3n，计算量也非常之大而且还很容易出错。这着实不是明智之举。
如果我们在上复习课时能引导学生对等差数列进行“整体思维”，使学生认识到：“等差数列间隔相等的等长片断和数列仍是等差数列”。就可以得到一种快捷的解法：
前n项的和为A，中间n项的和为B，后n项的和为C，则A，B，C仍是等差数列，且B＝100－25＝75，A＋B＋C＝3B＝225，即前3n项的和是225。
点评：运用此结论解题，简洁明快，耳目一新。
例2已知一个等差数列{an}，它的前10项的和为100，前100项的和为10，则它的前 110项的和是多少？
解析 学生根据题意很容易列出方程组
10a1+ d=100（1）
100a1+ d=10 （2）
解方程组从中解出a1与d，再求S110
这种解法思路自然，是一种常规解法，但运算量大。如果运用上述结论也可以得到快捷的解法：这里数列S10，S20-S10，S100-S90，S110-S100是等差数列，设这个等差数列的公差为D，考虑前10项之和10S10+ D=10，∴D=-22，再考虑数列的第11项S110-S100=S10+10×（-22），∴ S110=10+100-220=-110。
本题还可以这样求解：由S110==110（a1+ d）知，我们只需求a1+ d即可，将（2）-（1）得 a1+ d=-1，∴S110=-110。
点评：整体观点解题是常用方法，运算量少了很多。
对于等差数列，从刚才的认识出发，还可以引导学生得到下面的结论：
（1）an不仅是an-1与an+1的等差中项，也是an-2与an+2，…，a1与a2n-1的等差中项；
（2）n为奇数时，数列前n项的和等于其中间一项的n倍；
（3）若m+n=p+q(m，n，p，qIN)，则am+an=ap+aq
例2 （高一课本上册复习参考题三B组第4题）有两个等差数列{an}和{bn}， = ，求 。
解析此题若由前n项和之比去寻求通项之比，再求 ，那是相当困难的。如果能从结论2想到a1+a2+…+a9=9a5，b2+b2+…+b9=9b5，问题就迎刃而解了， = = = 。
例3已知数列{an}为等差数列，且S9=18，an-4=30，若Sn=240，求n的值。
解析 常规解法： 用前n项和公式，将Sn与a1、an联系起来，但要找到S9、an-4与Sn的联系就比较困难了。
如果教师引导学生从结论2出发得到S9=9a5，a5=2，再由结论3得出a1+an=a5+an-4，于是Sn= = =16n，即16n=240，由此很容易求出n的值为15。
点评：如此巧妙运用结论解题逐将问题化难为易、起到了事半功倍之效果。
例4在项数为奇数的等差数列中，奇数项的和为阿a，偶数项的和为 a，求这个数列的中间项及这个数列的项数。
解析常规解法：学生根据题意很自然列出方程组 （n+1）a1+ （2d）=a
n（a1+d）+ （2d）= a
解这个方程组不是一件容易的事而且非常容易出错。
如果教师引导学生从结论3出发进一步观察分析数列特征易知：“与首末两端等距离的两项之和相等”，就可发现，“奇数项的和恰好比偶数项的和多了一个中间项，”因此这个数列的中间项A=a- a= ；在从结论2知道a+ a=n，其中n是这个数列的项数，很容易算出 。这样既不必考虑数列的中间项是第几项，也不须求出数列的首项与公差，就轻而易举地解决了问题。
点评：如此解题将问题化繁为简，轻松自如。
对于等比数列也有类似的情况，可在教师的指导下，由学生自己归纳出来并注意在解题中运用。
从以上例子可见整体思维将问题看成一个统一的整体,从不同侧面、不同角度、运用不同方法去分析整体与局部、整体与结构的关系,从而把握问题的本质和规律，构造出整体模型优化解题思想。在教学过程中教会学生进行整体思维，不仅可以避免一些繁琐的运算，更重要的是能使学生克服见木不见林、一叶障目的毛病，对所学内容有一个全面系统的认识。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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