首页 -> 2008年第7期
从空间到平面的一次巧妙转化
作者：王 丽 陈 科
要解决这个问题，需要对?兹1分情况进行讨论。若?兹1为直角，可以用余弦定理直接比较这两个角的大小；若?兹1为锐角或是钝角，这个问题又该如何解决呢？直接用立体几何的知识来解决这个问题不是一件容易的事，但如果我们能够将这个问题转化为平面几何的问题，再利用平面几何的知识来解决就容易了。问题的关键是如何将这个问题转化为平面几何的问题，即将需要比较的两个角放到同一个平面内来比较大小，整个转化的过程可以用一个字形容——铺，具体操作如下：
首先，将△ABC在保持AB边位置不变的情况下将其“铺”到平面?琢内得△ABC′，
则△ABC≌△ABC′；
再过点C′作C′E⊥AB于点E，由三垂线定理的逆定理可得，△ABC在绕边AB旋转的过程中，点C在面?琢内的射影D一定落在直线C′E上，不妨让△ABC绕边AB从与△ABC′重合起旋转至与?琢′垂直，这一过程中，点C在?琢内的射影D一定落在线段上C′E，这样一来，只要比较面?琢内的∠ADB和∠AC′B的大小就可以了。
上述操作的过程完成了从空间向平面的转化，接下来再利用平面几何的知识来比较∠ADB和∠AC′B的大小。
下面我们分?兹1为钝角和锐角两种情况来研究这个问题。
当?兹1为钝角时，△ABC为钝角三角形。作△ABC′的外接圆⊙O（如图二），显然线段C′E在⊙O内（点E在圆内），则点D一定在圆内，故∠ADB＞∠AC′B，即?兹2＞?兹1。
当?兹1为锐角，此时△ABC的形状不定，有三种情况：
（1）若△ABC为锐角三角形，此时做法与?兹1为钝角时一样，得出?兹2＞?兹1。
（2）若△ABC为直角三角形，不妨设∠CAB=90o，由三垂线定理的逆定理可得∠DAB=90o，在 Rt△DAB 中，sin?兹2= ，在Rt△CAB中，sin?兹1= ，而在△CDB中BC＞BD，故有sin?兹2＞sin?兹1，又 ?兹1，?兹2∈（0， ），所以?兹2＞?兹1。
（3）若△ABC为钝角三角形，不妨设∠CAB为钝角，此时再作△ABC′的外接圆⊙O，过点C′在?琢内作C′E⊥AB于点E，此时线段C′E与⊙O的位置关系不确定。
当⊙O与线段C′E只有一个公共点C′时，射影点D在圆O外（如图三），此时∠ADB＜∠AC′B，即 ?兹2＜?兹1；
当⊙O与线段C′E还有一个异于点C′的一点G(如图四)，则当射影点D在线段C′G之间时，即点D在⊙O内，即∠ADB＞∠AC′B，即?兹2＞?兹1，当射影点D就是点G时∠ADB=∠AC′B，即?兹2=?兹1，当射影点D落在线段GE之间时，点D在⊙O外，∠ADB＜∠AC′B，即 ?兹2＜ ?兹1。
通过上述详细的讨论，我们可以得出：一个空间角与它在某个平面内的射影角的大小关系是不确定的，与三角形的形状及射影点的位置有关系。上述过程中采用的方法是将空间问题转化为平面问题来研究，可以说是常规方法但也不乏巧妙，外接圆的引入更是恰到好处，不失为整个讨论过程的一大亮点。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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