首页 -> 2008年第7期

学生学习数学良好习惯的培养

作者：曹琪元　刘绍斌

　　在数学教学中，我们应培养学生哪些学习习惯呢？笔者认为，应主要培养学生以下习惯：
　　
　　一、准确表述数学概念的习惯
　　
　　准确表述数学概念，是正确理解数学概念的前提，否则，即使当初理解了数学概念，时间久了，也会模糊。因此，在数学教学中，要防止并及时纠正下述概念表述中的常见错误：
　　（1）混淆不同概念。例如，把“l₁到l₂的角”与“l₁与l₂的夹角”混淆；把“a₂是非负数”表述为“a²>0”等等。
　　（2）减少内涵。例如，表述“在一个平面内到两定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|的点的轨迹就叫做椭圆”时，丢掉“大于|F₁F₂|”这个条件；表述“T_(α±β)”时，丢掉“α≠π/2+kπ，β≠π/2+kπ，α+β≠π/2+kπ(k∈Z)”这个条件。
　　（3）以偏概全。例如，把“等比数列前n项和的公式”表述为“S＝a₁(1-qⁿ)/(1-q)”，忽略了q＝1的情况。
　　
　　二、准确使用数学语言的习惯
　　
　　数学语言是解决数学问题不可或缺的重要工具。教学实践表明，学生数学能力的差异之一，是对数学语言的理
　　解、表达和转化的差异。
　　（1）要理解、掌握数学语言并学会转化。我们通常将数学语言按照所使用的主要词汇分为文字语言、符号语言、图形语言。正确使用三种数学语言，不仅可以深刻理解数学概念，也可以从各个不同角度掌握概念之间的联系。如许多学生在高一时，数学语言不过关，对“函数y=f(x)”难以理解，觉得数学太难了，逐渐失去了学习的兴趣，以致成为数学差生。因此，重视数学语言的教法，帮助学生做好数学语言之间的互译、转化工作就显得十分重要。
　　（2）数学语言多维化，以此培养学生思维的灵活性。一个数学概念、术语往往可以有多种语言形式表示,如“平行线l₁，l₂”，其文字语言为“在同一平面内没有公共点的两直线”，其符号语言是“l₁∥l₂”；其集合语言为“l₁∩l₂=Φ”,其解析几何语言为“k₁=k₂，b₁≠b₂”，其方程语言是无解。又如复数z可以用代数、向量、坐标、三角、指数等不同形式的语言进行表达，这种语言的多维化正是一题多解的源泉之一。
　　
　　三、发散思维的习惯
　　
　　发散思维的特征是：从多方面、多思路去思考问题，而不是囿于一种思路，一个角度，一条路走到黑，具体表现为以下几种形式：
　　（1）对同一条件，联想到多种结论。例如，对于“1＝？”，可以联想到：1＝sin²α+cos²α，1=sec²α-tg²α，1=tgαctgα，1=-i²=i⁴，1=log_aa(a＞0，a≠1)，1=a⁰(a≠0)，…
　　（2）对同一结论，联想到多种条件。例如，对于结论“点A、B、C在一条直线上”，可以想到条件是：KAB＝KAC，或AC＝AB＋BC，或∠BAC＝00（1800），或B是有向线段AC的一个定比分点，…
　　（3）一题多解。例如，已知a²+b²=1，x²+y²=1，求证ax+by≤1。方法一：以代数的知识观点进行观察，发现将两已知式相加，再应用基本不等式即可证出；方法二：以三角的观点观察，知a、b为某一个角的正弦和余弦，x、y为另一角的正弦和余弦，因而可考虑应用三角换元法证明；方法三：以解析几何的观点观察，知（-a，-b）落在单位圆x²+y²=1上，因而圆上任一点（x，y）到点（-a，-b）的距离不大于直径，应用已知即可得ax+by≤1。对于一个题目往往有多种解法，简繁不一，教师要细心点拨，引导学生多考虑可能的解法，使他们渐渐形成自觉的求异思考和意识。
　　
　　四、正确运用类比推理的习惯
　　
　　实践中，还应特别注意正确运用类比推理，不能“想当然”。例如，平面几何中有“垂直于同一直线的两条直线平行”，若类比得出“垂直于同一平面的两个平面平行”却是错误的。又如，若|4i+log_0.5x|≥5，其中i²=-1，x∈R，求x的取值范围。许多同学是这样解的：原不等式可化为4i+log_0.5x≥5或4i+log_0.5x≤-5……这是受实数x，|x|≥a（a＞0）←→x≥-a或x≤-a的影响而产生的负迁移。对于复数Z，还可能产生的迁移有①|Z|=Z²，②|Z|=a←→Z=±a，③Z^mn=（Z^m）ⁿ，④Zⁿ=1←→Z=1，⑤ax²+bx+C=0有实根？△≥0等。
　　教学中，通过一些易混概念性质的类比，既可纠正学生的错误，还可以使学生掌握类比的可行性、准确性、局限性，从而科学地掌握运用类比思维的方法。
　　
　　五、养成及时归纳总结的习惯
　　
　　同一类型的问题要及时总结归纳，形成知识系统，使所学知识更清晰，也更容易理解掌握。比如在学习“直线和圆”这部分知识的时候，涉及到对称的问题：求点关于某点的对称点；求点关于某条直线的对称点；求直线关于某点的对称直线；求直线关于某条直线的对称直线；求圆关于某条直线的对称圆等，所有这些问题都可以总结成一个专题系统地掌握。再比如关于直线系的知识：过定点的直线系；已知斜率的平行直线系；垂直于某条直线的垂直直线系；过两条直线交点的直线系等都要求学生总结。
　　养成及时归纳总结的习惯，使知识系统化，通过联想和想象，知识掌握得也更牢固，及时归纳总结的习惯为培养学生自主探究性学习打下坚实的基础。
　　应当培养的优良习惯还有许多，诸如认真预习、专心听课、及时复习、独立完成作业、积极应考、练后反思等好习惯，在此不一一细述。