首页 -> 2008年第7期
关于数学备课的几点思考
作者：吴文波
一、设计好教学的几个基本环节
1． 设计好引入，问题要适度
好的“引入”能加深课的第一印象，并能吸引学生的注意力，激发学生学习兴趣，从而获得好的教学效果。数学课堂的“引入”往往从问题开始，但并不是任何问题都能引起学生的兴趣，问题引入的“度”很关键，是要使学生产生“悬念”的问题。当学生遇到这类问题时，就产生强烈的求知欲。
例如：在等比数列的前n项和公式一课中，首先导入故事：印度太子西拉谟打算奖励军棋发明家，让他自己选择奖品。发明家请求，要按军棋上的格数赏给他米粒，但须第一格给1粒米，第二格给2粒米，第3格给4粒米，以下每格给的米粒数为前一格所给的米粒数的2倍，太子认为发明家的要求太低，于是爽快地答应了他的请求。讲完这个故事后，教师向学生提问，太子能满足发明家的要求吗？
我们如何为太子计算奖品的数量？回答这个问题就是我们本节课所要研究问题——等比数列的前n项和公式。这样的问题给学生制造了悬念，学生感到好奇，产生急于知道结果的想法。
2． 导情引思，创设思维的最近发展区
备课注重导情引思，就是以激发情趣启发和引导学生的思维，尽快进入课堂教学的最佳状态．
例如“组合数性质”一课，由于性质2比较抽象难懂，课本中证明亦用抽象组合数公式展开解决，这样教者无趣，学者茫然。为体现导情引思，应先将抽象问题具体化，要求学生从简单的具体化问题入手计算 和 ＋ 的结果，发现 ＝ ＋ 。
然后要求学生构造一个简单的应用题： 即从5个学生中任选3个参加跳绳比赛活动的组合数。
再要求学生考虑，在这些组合里，如果其中甲参加的组合有多少个（即 ），如其中甲不参加的组合有多少个（即 ）。由此得出结论， ＝ ＋ ，用上述手法，让学生理解以上简单情况．为获取组合数性质2的一般结论创设思维的最近发展区。
3． 设计问题突出重难点，循序渐进
合理的提问即是要围绕教材中的重点、难点设计问题，要针对学生认知水平、个性特点，提出不同类型、不同层次的问题，要循序渐进。
例如：“反正弦函数概念”的教学是高中教学中的难点，因为反正弦函数概念与学生原有的知识和思维水平相差甚远，一时难以融入原有的认知结构。为此，备课时应按渐近式设计问题系列，着重解决所要学习的新概念，不仅仅知道“是什么”而且知道“为什么”，是“怎么想到的”。
问题1：y=x2在x>0上是否存在反函数？（结合图像）
问题2：y=x2(x∈R)是否存在反函数？（结合图象）为什么？
问题3：学生回答问题1、2后，让学生导出问题1、2的不同点及一个函数存在反函数的条件。又提问：若问题1是肯定的，问题2是否定的，那么进一步想一想，对y= x2的定义域加以怎样的限制，使限制后的函数有反函数？（充分发动学生畅所欲言）
问题4：函数y＝sin x，x∈R有反函数吗？
问题5：如何限制某一区间，使y＝sin x有反函数呢？限制区间为[- ， ]，能否施行？ 限制区间为[ ， ]，又行吗？比较两者，那一个更好？
至此引进反正弦函数概念已经是水到渠成了，难点在通过系列提问过程中已经逐步突破。
4． 注重小结
一个高明的备课设计，常把最重要，最有趣的东西放在“末场”，可有很多人不太讲究课文小结的设计。殊不知，越是临近“终场”越应让学生注意总结和梳理。小结有多种形式：
①总结式小结：这是最常采用的小结方式，但要注意不要泛泛而谈，要抓住本课内容，扼要而有条理地归纳总结突出重点、难点以引起学生注意。
②呼应式小结：以解答“引入”时所提问题的方式。例如“二项式定理”一课“引入”提出问题：如果展开（a＋b）6 ？ 全课证明二项式定理，然后由学生自行展开（a＋b）6，起到前后呼应的教学作用。
③探究式小结：留下问题创设悬念，让学生去品味、研究。如讲授完解析几何双曲线及标准方程后，指出双曲线定义是：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线之后，提出问题：其一，若去掉定义中“绝对值”三字轨迹是什么？其二，若去掉“小于|F1F2|”的条件后轨迹又是什么？这些问题，不必要求学生当堂立即回答明确，而是留有余地，让学生去探究。
④衔接式的小结：创设一种情景，使得学生急于求知下次课的内容，造成如古代小说中经常提到“欲知后事如何，且听下回分解”的效应。比如在结束解析几何“点到直线的距离公式”的学习时，可给出两条互相平行的直线的方程，设问初中平面几何中两条平行线的距离与点到直线的距离这两个概念，有什么内在联系？让学生思考，这就为下次课“两平行线间的距离公式”作了衔接和铺垫。
二、备课应重视数学思想方法的渗透
任何数学问题的解决，无不以数学思想为指导。备课就要注重渗透数学思想，有了数学思想，课才备得好，也讲得好。
1. 渗透唯物辩证思想
数学科学中充满了唯物辩证法，如“相等”与“不等”，“常量”与“变量”，“有限”与“无限”，“曲”与“直”等等，教学中适时渗透唯物辩证思想，讲清同类问题的共性和个性，能提高学生逻辑思维能力和明辩是非的能力。如二次曲线的共通定义是它们的共性，不同二次曲线的离心率是它们的个性，由个性的不同决定了曲线的形状和性质。讲清这些问题，可以使学生更深刻地认识“量变”引起“质变”这个道理。
2． 渗透符号表述思想
符号表述是数学语言的重要角色，它的使用极大地简化和加速思维进程。某些问题恰当利用符号表述，可使问题简单明了，甚至可以发现或发明一种新的东西。数学家莱布尼兹利用中国的八卦符号为计算机的发明奠定了基础就是一个很好的例证。渗透符号表述思想或运算的符号法则，有助于提高学生的逻辑思维能力。
3. 渗透化归类比思想
化归、类比是最基本的数学思想。如解方程化高次为低次，化多元为单元，化超越方程为代数方程；运算中化高级为低级，化复杂为简单；三角中化任意角为锐角。多给学生提供参与教学的机会，让他们身临其境去体验，通过化归、类比找到有规律性的东西。
4. 渗透数形结合思想
数形结合思想是把空间形式和数量关系有机结合起来解决问题，它的实际效果或是化抽象为直观，如函数与图像；或是化技巧为程序操作，如解析几何。这些是数学中数形结合的宏观现象。如果就一个个的具体问题适时恰当地渗透数形结合的数学思想，可以培养学生构造数学模型的能力，化难为易。
5． 渗透教师主导和学生主体统一的思想
备课，对教师方面教什么？如何教？总是研究的重点，而对学生学什么？如何学？则往往易忽视，这就割裂了教学过程教师主导和学生主体的统一性。因而在备课设计中不仅要备教法，而更重要的是要备出让学生积极主动参与教学全过程，在教师指导下的学习方法，尽力把单向知识灌输转变为师生之间的生动活泼的双向教学交流。
备课是一项创造性的劳动，只有高质量的备课才会有课堂教学的高效益，而高质量的备课必须强调教师有正确的教学思想，扎实的数学功底和准确的学习心理分析。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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