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如何提高学生数学应用题解题能力
作者：李英云
数学应用题解题过程大致可分为细心分析题意、探寻解题方法、实施解题方案、验证题目答案等过程。学生对于初等应用题的解题，最感头痛的就是列方程解应用题，特别是一些中下水平的学生，他们理解能力差，没有良好的审题习惯和技能，而解应用题对学生的逻辑思维能力要求较高，初中生正处于由直观形象思维为主向与抽象逻辑思维过渡的关键时期，没有形成较成熟的抽象逻辑思维方式。因此，在解题过程中，难免会遇到各种困难，使得有些学生丧失信心，导致学习成绩下降，甚至失去学习数学的兴趣。
在列方程解应用题的教学过程中，首先要明确教学要求，关键在于正确地分析题中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的相等关系，帮助学生理解数学概念，启发学生分析数量关系，掌握解题思路，灵活地运用解题方法来提高学生解题能力。加强审题能力的培养是解应用题的前题与基础。而对应用题的整理建模和归纳也是提高学生解题能力的重要途径。
一、把握关键词语，提高审题能力
应用题一般由条件和问题两部分组成，列方程解应用题，首要部分就是审题，审题过程就是通过阅题进行分析，认识题目的内容，对有关问题进行分析，分析题目中已知什么，求什么。审题的目的在于使学生理解题意，知道题目中给予了哪些条件、要求，进而明确各数量间的关系，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。不理解题意是无法弄清题目的数量关系的，但要学生对题意的理解并非容易的事。在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中一个，用字母x表示出来。然后根据数量之间的关系将其它几个未知量用含x的代数式表示出来。
如：某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓要配两个螺帽，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽？
分析：这道题中含有两个未知数，它们之间存在一定的关系，在这两个未知数中设一个为x，而把另一个未知数用x的代数式表现出来，再找相等关系，把它们一并列入方程即可。解决问题的关键：
①如果设x名工人生产螺栓，则（28－x）名工人生产螺帽；
②为了使每天的产品则好配套，应使生产的螺帽个数恰好是螺栓个数的2倍。
解：设分配x名工人生产螺栓，则有（22－x）名工人生产螺帽。
根据题意，得2×12x = 18（28－x）
解得x=12，28-12=16（人）
答：分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺帽。
整个题目到此就完美解决了。但作业交上来后却有相当一部分同学是这样解的：设分配x名工人生产螺栓，则有（22－x）名工人生产螺帽。
根据题意，得12x = 2×（28－x）×18
解得 x=21，28-21=7（人）
答：分配21名工人生产螺栓，7名工人生产螺帽。
出现这种情况，主要是学生审题不清，没有弄清螺栓和螺帽间的数量关系，本题的相等关系应为螺栓个数的2倍=螺帽个数。而学生正好把关系弄反了。
审清题意是解题的前提和关键，要使学生正确解题必须抓住问题中的重点字、词和关键句以及条件与条件、条件与问题的整体联系，理清条理，问题就会变得简单多了。像上例中弄清以谁为标准，谁是谁的两倍这个等量关系，就不会出现差错了。
二、强化整理归纳训练，提高解题能力
应用题中的基本数量和基本关系是解答应用题的基础，应用题中的数量关系比较复杂，须借助“线路图”或表格等去分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决问题，各种各样的应用题很多。如：行程问题，电价问题、商品零售、打折，电信支费等与现实生活密切联系的问题，必须把它们区分归类，找出各类题型的相等关系。不同的实际问题往往具有相同的数学模型，培养“数学建模”能力，进一步让学生体会方程建模的作用，发展分析问题、解决问题的能力。如在和、差、倍、分题型中，基本量就有原有量、现有量、增长量、增长率等，它们之间关系有：增长量=原有量×增长率；现有量=原有量×（1+增长率）或者现有量=原有量×（1-增长率）等；要找出题目中的相等关系，就要分析总量和部分量的关系，抓住一些关键性的术语：共、多、少、倍、几分之几等，利用原来的量和新得到的量之间的相等关系列出方程。
掌握应用题的结构特征和解题规律，目的是强化学生的基础知识，使学生看到题目，立刻知道应归属哪一类题型 ，想到解决问题时所必须的条件及相等关系，问题就能迎刃而解。
如：设甲、乙两人共有240元钱，如果甲给乙20元后，甲所有钱为乙所有钱的2倍，则甲原来有多少钱？这题目是属于和、差、倍、分问题，而且兼有劳力调配问题的综合题型。细心观察，本题有两个相等关系，一是：甲原有的钱+乙原有的钱=240元；二是甲给乙20元钱后，甲所有的钱=2×乙所有的钱。我们设甲原有的钱为x元，则乙原有的钱为（240-x）元，甲给乙20元后，甲所有的钱为（x-20）元，乙所有的钱为（240-x+20）元，用第二个相等关系即可列出方程。同时还可以要求学生自己依照“总量=各部分量的和”这一基本相等关系，编一些题来练习，达到举一反三的效果。通过整理归纳，使学生形成良好知识结构，进一步牢固掌握各种题型的基本量和基本关系以及寻找相等关系的思路和方法，为解答较复杂的应用题打下扎实的基础。
三、 综合运用知识，拓宽解题思路
应用题的解题方法不是单一的一种解法，能够正确解答应用题，是学生能综合运用所学知识的具体表现，在教学过程中适当教给学生一些解题方法，以拓宽解题思路。
如：某厂在规定时间生产一批机器，如果每天生产25台，那么差50台不能完成任务；如果每天生产28台，那么可以超额40台完成任务。问这批机器有多少台？规定几天完成？
本题是一个“盈不足”问题，抓住两个不变量来考虑相等关系：一是这批机器生产的数量是一个不变的量；二是规定的天数是不变的量，如果设其中一个为未知数，则另一个用来作相等关系。如设这批机器有x台，由第一个条件，可得规定的天数为x-50/25天；由第二个条件，可得规定天数为x+40/28天，所以可列方程为x-50/25=x+40/28。如果设规定的天数为x天，由第一个条件可得这批机器有（25x+50）台；由第二个条件可得这批机器有（28x-40）台，可列方程为（25x+50）=（28x-40）。
对比本例的两种解法可知：解法二，方程的形式简单，解方程的计算量小。可见设元的选择对于解决问题的迅速性、准确性均起到重要的作用。
列方程解实际问题，一般采用分析法和综合法，教学时侧重用分析法。
例：某商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍获利15元，问每件服装的成本是多少元？
分析方法是从问题入手，寻找解决问题的条件，即①要求出每件服装的成本价是多少元，就必须知道实际售价和利润两个条件；②要求出实际售价，就要知道标价和打折（8折）数，如15元利润是怎样来的。我们知道每件商品的利润是商品售价与商品成本的差，如果设每件服装的成本价为x元，按照题意有：
每件服装的标价为：（1+40%）x；
实际售价为：80%（1+40%）x；
利润为：80%（1+40%）x-x；
由此列出方程：80%（1+40%）x-x=15
在解题过程中要求学生把分析思考的过程用语言表述出来，学生能说清楚，就证明他的思维是理顺的，实际上在分析应用题时，方法是结合运用的。
四、重视复习反馈，巩固所学知识
及时了解学生容易出差错与思路阻碍所在，对把握教学进度和方法起到很好的作用。在应用题复习中一题多解是沟通知识之间内在联系的一种行之有效的练习方式，有助于学生牢固掌握数量关系，而且可以开阔解题思路。复习中还可以改变学生的思维角度，让学生学会从不同角度、用不同思路去解应用题。
如：甲、乙、丙向希望工程捐款，已知他们捐款总额为2277元，甲、乙、丙三人捐款额之比为1∶3∶2，
（1） 问这三人各捐款多少元？
（2） 如果将条件“1∶3∶2”改为“5∶8∶7”其余条件不变，问这三人各捐款多少元？
（3）如果将条件“甲、乙、丙三人捐款额之比为1∶3∶2，”改为“甲、乙两人捐款额之比为2∶3，乙、丙两人捐款额之比为3∶4”，其余条件不变，问这三人各捐款多少元？
（4）如果将条件“甲、乙、丙三人捐款额之比为1∶3∶2，”改为“甲、乙两人捐款额之比为2∶3，乙、丙两人捐款额之比为5∶7”，其余条件不变，问这三人各捐款多少元？请学生按上述各问题的要求列出方程。
通过这样复习训练，让学生比较题中条件和问题，区别异同，是发展学生思维，丰富解题策略，提高解题能力，巩固所学知识的有效途径。