首页 -> 2007年第6期
走进学生的思维
作者：吴欧芳
案例：
函数的奇偶性是函数的一个重要性质。教者把这节课的教学重点放在函数奇偶性的概念，函数奇偶性的判断以及应用上，其教学设计遵循的是一条“概念—性质—应用”的路子。教师预设在课堂上引导学生经历由感性到理性，由直观到抽象，由具体到一般的思维过程，以便让学生比较系统地掌握函数奇偶性知识。从教学方法上来说，设想引导学生通过自主探索和合作交流而获得对概念的理解，学生走的将是一条发现学习的道路。教者自认为这样的教学设计理念新，步子稳，可操作性强，不料课堂上发生了意外。
以下是课堂实录。
师：我们刚刚学习了函数的单调性，它研究的是随着自变量的变化，其对应的函数值的增减性。今天，我们来学习函数的另外一个性质—函数的奇偶性。同学们能否根据字面大胆地猜测一下：什么叫函数的奇偶性？它研究的可能是函数哪些方面的性质？
（设计目的：激发学生的想像力，在此基础上引入实例，让学生自己去经历去粗存精的思维过程，最终获得函数奇偶性的科学定义。）
生A：如果函数解析式中自变量的次数为奇数，则称该函数为奇函数；反之，则称为偶函数。至于它们研究的是函数哪些方面的性质，我不知道。
师：他的这一猜测似乎有一定的合理之处，但想法显然过于狭窄了。
生B：我想说的是，我们为什么要研究所谓的“函数奇偶性”？它有什么用吗？
（生B的发言教者颇感意外，一下子打乱了教学预想。课堂上有几个学生也在悄悄细语，莫非他们跟学生B有同感？若直接解释，一下子根本讲不清楚，且这样灌输，教学效果也未必好。面对如此局面，教者决定因势利导，临时改变教学设计，把原教学设计中函数奇偶性的一个应用问题稍作变化提前呈现出来，引导大家通过对该问题的解决，自己来感受学习函数奇偶性的必要性）
师：这样吧，暂时抛开函数的奇偶性概念不谈，我们来看下面的问题。
已知f(x)的图像关于y轴对称.
（1）若x>o时，f(x)=2x+4，你能求出x<0时f(x)的表达式吗？
（2）若x>0时，f(x)的取值范围是(2，＋∞)，你能求出x<0时f(x)的取值范围吗？
（3）若x>0时，f(x)为增函数，你能确定x<0时f(x)的单调性吗？
生C（第（1）小题）：我的方法是先画出x>0时f(x)=2x+4的图像，再利用图像的对称性作出x<0时f(x)的图像，由此不难写出x<0时f(x)的表达式。（过程略）
师：他刚才走的是“抽象—直观—抽象”的路子，不失为一种朴素而有效的方法。
生D（第（2）小题）：我的方法是特殊化。构造函数f(x)=x+2，由此即得x<0时f(x)的取值范围。（过程略）
师：她刚才运用的是特殊化的思想。通过化抽象为具体，达到了化难为易的目的，答案也是对的，可惜推理不严格。因为在数学的证明中不能用特殊代替一般，所以她的做法还有待于完善。
生C：还是我的图像法好，当然它也不够严谨。
生E（第（3）小题）：我也是画图像的，答案是“减函数”，但证明起来有困难。
师：看来，我们接下去面临的问题是怎样严格证明这些结论。首先，这些问题的共同特征是什么？（用一句话来概括）
生：依据x>0时f(x)的性质来推导x<0时f(x)的性质。
师：这样看来，关键是对于x>0和x<0的情形，在它们的函数值之间架设一座沟通的桥梁，桥梁在哪儿呢？
生：f(x)的图像关于y轴对称。
师：具体地说，就是—
生F：图像上横坐标互为相反数的点，其纵坐标相同。
师：显然，如果我们能够把图像的这一特性用数学式子表示出来就好了，能表示吗？
生F：x1=-x2，f(x1)=f(x2)时，
师：能用一个式子来表示吗？
生F：能。f(-x)=f(x).
师：很好！刚才我们一起经历了由直觉观察到抽象概括再到符号化的过程，这在数学上叫做形式化。看来，现在我们可以运用这一等式严格推导上面3个小题的结论了。（略）
师（总结引导）：（1）可不可以这样认为，若f(x)的图像关于y轴对称，那么我们总可以根据x∈［a，b］时f(x)的性质来推得x∈［-b，-a］时f(x)的相应性质，你能举出几个图像关于y轴对称的函数的例子吗？
（2）看来，“图像关于y轴对称”对我们来说并不陌生，它确实具有很好的数学价值，我们是否有必要给这类函数取一个名称？
（3）考虑到刚才同学们列举的函数f(x)＝x2，f(x)＝x4等是具有这一性质的常见函数，注意到它们的幂指数都是偶数，我们把这类函数叫做偶函数如何？下面大家一起来概括一下。
生：f(x)是偶函数 f(x)的图像关于y轴对称 对于定义域内的任何x都有f(-x)=f(x).
反思：
尊重学生的主体地位，首要的，就是要在课堂教学中把尊重学生真实的思维过程和思维特点落在实处。
传统教学过分关注教师的主导作用。教师把复杂的问题分解成若干个简单的问题，采用“小步子”教学策略，让学生沿着教师既定的线路前进。这实际上是教师以自己的思维代替了学生的思维，客观上压抑了学生许多真实而高级的思维活动，久而久之，学生的头脑中存有太多的困惑和不解。这不仅会造成学生认知结构中知识和能力的分离，而且会使他们对数学和数学学习产生不良的情感，最终彻底丧失学习的主动性和主体性。
中学生正处于求知欲十分旺盛的年龄段，从促进学生可持续发展的高度保护好学生的思维热情，并不断引导学生提高思维品质理应放在教师教学工作的重要位置。本节课从暴露学生真实的思维活动入手，设计了一个蕴涵着数学重要概念的问题情境，让学生通过问题解决和对问题解决过程的反思，充分感受数学概念产生的自然性和必要性，满足了学生的思维需要和情感需要，体现了以人为本的教育理念。
新课程背景下教师和学生的角色定位要求教师在组织者和引导者的位置上正确处理学生的知识、技能的掌握与学生的能力发展，以及创新意识的养成之间的关系。
学生是学习的主人。按照建构主义的学习理论，学生的知识学习并不能依靠外界硬塞而获得，学生的学习主要是一种建构式的学习，教师的重要责任是为学生的建构学习搭建获取知识的平台。据此，学生知识的获得和能力的发展应该同步进行，它们共同统一在问题的解决过程之中。传统的数学教学割裂了知识和能力，过程和结果，情感和智力的关系，造成学生在打好基础和力求创新方面难以兼顾。
通过本堂课的学习，学生获得的知识和技能并不多，但因为在教师的引导下，学生亲身经历了一次较为完整的知识产生过程，发展了数学能力，体验了知识创造的乐趣，学生的获益是多层次的，从而实现了新课程倡导的多维教学目标。
处理好数学教育的数学方面和教育方面的矛盾关系是新课程背景下教师专业发展的必然要求。
一方面，数学教育是关于数学的教育。这要求我们在制定教学目标时一定要充分考虑数学的特点，反映数学的要求。选择的教学内容要尽可能有利于揭示数学的思想方法，有助于学生对数学本质的理解，消除对数学的神秘感。
另一方面，数学教育又是教育形态下的数学。这要求我们在教学设计时一定要充分考虑学生的思维特点和可接受程度，思考采用怎样的教学手段以便学生达到教学的目标。
在本节课的教学实施中，学生对数学问题进行了充分的感知，既有对具体函数的操作运算，也有对函数图像的观察归纳，还包括符号语言和图形语言之间的多轮回转化。这样的教学既满足了学生数学能力发展的要求，也符合学生的身心发展规律，较好地处理了数学方面和教育方面的关系，为学生的后续学习奠定了良好的智力基础和情感支持。