首页 -> 2007年第4期
排列、组合题的过常用解题方法与技巧
作者：王晓艳
一、相邻问题捆绑法
对于某些元素要求相邻的问题，可整体视这些元素为一个“大”元素与其他元素排列，再考虑这些元素本身是否要全排列。如需要，再对这些元素进行全排列。
[例1]7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人必须相邻，有——种不同的排法。
分析：先把甲、乙、丙三人“捆绑”起来看作是一个元素，与其余4人共5个元素作全排列，有
种排法，而后对甲、乙、丙三人进行全排列，再利用分步计数原理可得720种不同排法。
二、不相邻问题插空法
对于要求某些元素不能相邻，其他元素将其隔开的问题，可以先把其他元素排好，再将要求不相邻的元素插入到它们的间隙或两端的位置。
[例2]七个人并排站成一行，如果要求甲、乙两个人必须不相邻，那么不同排法的种数是( )
A．1440种
B．3600种
C．4820种
D．4800种
分析：除甲、乙外，其余5个人的排列数为种，再用甲、乙去插6个空位有种，不同排法种数是3600种，故选B。
三、无差别问题隔板法
对于把无差别的元素分配到有差别的位置，常用隔板模型法。
[例3]12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有——种。
分析：将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图00 | 0000 | 0000 | 00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有165种。
四、定位问题优先法
对于有限制条件的排列问题，首先考虑受限制的元素(或位置)，再考虑其余元素(或位置)。
[例4]把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人。若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有种。
分析：先安排进二车间实习的人，有种方法，再安排进一车间的人有种方法，余下的2人进三车间，所以共有9种分法。
五、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序称为定序问题，这类问题可用缩小倍数的方法求解较为方便。
[例5]A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有( )
A．24种、B．60种 C．90种 D．120种
分析：若不考虑限制条件，则有Ai种排法，而A、B之间排法有种，故B站A右边的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有60种，故选B。
六、有序分配问题逐分法
对于有固定对象的分配问题，可以按要求一个接一个去取，由分步计数原理计算取法总数。
[例6]12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
分析：以路口去取人，甲路口先从12人中取4人，有种取法，乙路口再从剩下8人中取4人，有种取法，丙路口从剩下4人中取4人，有种取法。由分步计数原理，则不同的分配方案共有种，故选A。
七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AnB)来求解。
[例7]从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法?
分析：设全集I={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n(I)-n(A)-n(B)+n(AnB)= (种)
八、标号排位问题分步法
对于要求把元素排到指定号码的位置上。可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
[例4]将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
分析：先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，故选B。
九、“至多”“至少”问题分类、排杂法
关于“至多”“至少”类型的组合问题，可用分类的方法或排杂的方法。
[例9]从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人中至少一人在内，共有多少种不同选法?
分析：(分类法)若甲、乙中只选一人有种；若甲、乙都选有种。应用分类计数原理有=9(种)。
(排杂法)从5人中任选3人，再减去甲、乙都不在内的选法即可。故所求为=9(种)。
十、部分符合条件问题排除法
对于有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除，这是解决排列、组合题的常用策略。
[例10]从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有——种。
A．8
B．12
C．16
D．20
分析：此题正面分析情形较多，若逆向思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。6个面中任意取3个，共有个，其中3个面两两相邻则对应于正方体的顶点个数，有8个，故所有不同选法有=12(个)，故选B。
总之，在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，避免重复和遗漏，总结规律、掌握技巧，可大大提高分析问题和解决问题的能力。