首页 -> 2008年第12期
数学开放题及其教学
作者：张磊明
（一）数学开放题的分类
数学命题一般可根据思维形式分为假设—推理—判断三部分，数学开放题是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题。根据数学命题的三部分，大致可将数学开放题分为以下几类。
1.条件开放型。在数学命题中若假设是未知的元素，则这类问题称为条件开放题。这类问题是通过给定结论来反求满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一。
[例1]空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：①满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？②满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？③满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
简析：①要使四边形EFGH为平行四边形，可通过一组对边平行且相等或两组对边分别平行来得到。因此取E、F、G、H分别为各边中点或当AE:AB=AH:AD=CF:CB=CG:CD时，四边形EFGH为平行四边形。②、③略。
[例2]写出5个解集为（2，3）的不等式。
2.结论开放型。在数学命题中判断未知的这类数学开放题称为结论开放题。这类问题是在条件给定的情况下探索结论的多样性。
简析：由于f（x）是周期函数，容易想到从三角函数入手，因此可得到：①f（x）=│sinx│②f（x）=k·cos2x+b（k<0，k，b为常数）③f（x）=sin2x
[例4]试构造三个不同的棱长相等的多面体，使它们的体积均为18cm3，分别求出它们的棱长并画出它们的图形。
简析：考虑三种不同的多面体为：正方体、正三棱柱、正四面体，当然也可以是正四棱锥或底面是菱形的直四棱柱等（解、图略）。这类问题主要考查学生的发散性思维和对所学知识的应用能力。
3.策略开放型。若数学命题的未知要素为推理则为策略开放题。这类题目要求学生综合运用所学的数学知识来探索数学问题。
[例5]某无尘粉笔（50支装）的小包装（长方体）尺寸为9×5×7.5cm3，现准备将12盒小包装组成一个大包装，请设计一个包装方案，并计算这个方案的大包装表面积为多少平方厘米。
简析：考虑到实际情况，大包装应为一个长方体。①12个小长方体排成一排，称为1×12包装方案；②2×6包装方案；③3×4包装方案；④2×2×3包装方案。
（二）开放题教学
开放题教学背景广泛，但因其具有条件不充分、方法多样、思维空间大、思维难度高等特点，学生解题时往往不知应如何下手。因此，在平时的教学中应把开放题不断地渗透到平时的教学中去。同时应把握好以下几个方面：
1.以教材为本，适当把一些课本上的题目改编为开放题。如可以把条件、结论完整的例题或定理改成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；也可以改成给出多个条件，进行整理、筛选后才能求解或证明的题目；还可以进一步变换条件，引申推广。
2.在课堂中注重变式教学，通过变式教学使一题多用、多题重组。引导学生从不同的角度，用不同的方法来思考问题，从而拓宽思路，培养思维的敏捷性和灵活性，培养学生知识和方法的迁移能力，达到举一反三、触类旁通的效果。
3.教师应改变传统的教学方法，在教师的主导下，坚持以学生作为探究的主体。在学习的过程中，引导学生自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，激发其强烈的求知欲和创造欲，培养学生的发散思维和创新能力。
4.开放题的教学要适度。在以常规题为主体的前提下，适当引入开放题，可弥补常规题的不足。必须适当控制开放题的开放程度，在平时的课堂教学中引入一些开放度较小的题，而一些开放度较大的题可放在选修课和研究性学习中来进行，必要时教师应作适当的铺垫。
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