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3. 数字问题

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猜数字-1
一个教逻辑学的教授,有三个学生,而且三个学生都非常聪明。
一天教授给他们出了一个题,教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们,每个人的纸条上都写了一个正整数,且某两个数的和等于第三个。(每个人可以看见另两个数,但看不见自己的。)
教授问第一个学生:你能猜出自己的数吗?回答:不能。
问第二个,不能。
第三个,不能。
再问第一个,不能。
第二个,不能。
第三个:我猜出来了,是144!
教授很满意的笑了。请问你能猜出另外两个人的数吗?请说出理由!
分析与解答
答案是:36和108
思路如下:
首先,说出此数的人应该是两数之和的人,因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的,在同等条件下,若一个推不出,另一个也应该推不出。(当然,我这里只是说这种可能性比较大,因为毕竟还有个回答的先后次序,在一定程度上存在信息不平衡)
另外,只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时,才可以立刻说出自己的数。
以上两点是根据题意可以推出的已知条件。
如果只问了一轮,第三个人就说出144,那么根据推理,可以很容易得出另外两个是48和96,怎样才能让老师问了两轮才得出答案了?这就需要进一步考虑:
A:36(36/252)B:108(108/180)C:144(144/72)
括弧内是该同学看到另外两个数后,猜测自己头上可能出现的数。现推理如下:
A,B先说不知道,理所当然,C在说不知道的情况下,可以假设如果自己是72的话,B在已知36和72条件下,会这样推理——“我的数应该是36或108,但如果是36的话,C应该可以立刻说出自己的数,而C并没说,所以应该是108!”然而,在下一轮,B还是不知道,所以,C可以判断出自己的假设是假的,自己的数只能是144。
猜数字-2
老师从1~50之间(大于1小于50)选了两个自然数,将两数之积告诉同学P(Product),两数之和告诉同学S(Sum),问两位同学能否推出这两个自然数?
S说:我知道你不知道这两个数,但我也不知道。
P说:我还是不知道。
S说:我知道这两个数啦!
P说:我也知道啦!
其他同学:我们也知道啦!
……
问:老师选出的两个自然数是什么?
分析与解答
说话依次编号为S1,P1,S2,P2。
设这两个数为x,y,和为s,积为p。
由S1,P不知道这两个数,所以s不可能是两个质数相加得来的,而且s29,那么P拿到29(s-29)必定可以猜出s了。所以和s为{11,17,23,27,29}之一,设这个集合为A。
由P1,乘积p必定含有因子2,而且含有两个质因子,而且最大的质因子不可能大于7,(假如含有因子11,就会有p至少是1123,拆成116或者223不满足条件,假如含有因子13,就会有p至少是1323,拆成136或者263也不满足条件),这条规则有助于简化和s的拆分。
(1)假设s=11。
11=2+9=5+6,有18=29=3×6,只有2+9落在集合A中,P不会说出P1。而30=56=215,11和17都落在集合A中,所以只有这一种情况会令P说P1,所以S拿到11可以断言S2。但是问题在于P会说出P2的话,必须要s=17时S说不出S2才行。
下面看看s=17的情况,17=2+15=3+14=5+12=7+10= 8+9,由于p=215=56或p=314=221都会令P说出P1,所以s=17时S说不出S2。
所以s=11,p=30,这两个数是5和6的时候满足条件
(2)假设s=23,
23=2+21=3+20=5+18=8+15=9+14,由于p=914=621或p=314=221都会令P说出P1,所以s=23时S说不出S2。
(3)假设s=27,
27=2+25=3+24=6+21=7+20=9+18=12+15,由于p=621= 914或p=1215=920都会令P说出P1,所以s=27时S说不出S2。
(4)假设s=29,29=2+27=4+25=5+24=8+21=9+20=14 +15,由于p=920=1215或p=524=158都会令P说出P1,所以s=27时S说不出S2。
综上所述:这两个数只可能是5和6。
数字找规律
11,21,33,45,55,61,?
分析与解答
正确答案:61
原则是:
1.求下一个数的时候,已知的最后一个数应为10进制的。
2.从11开始,按5进制、6进制、7进制……的顺序求下一个数,也就是11的5进制为21,21的6进制为33,33的7进制为45……,55的9进制为61。
符号问题
定义一种新运算*
已知:2*4=8
3*5=11
5*3=13
9*5=25
求3*7=?
分析与解答
3*5和5*3得数差2,所以有两条思路:
8-2=6
11-3=8
13-5=8
25-9=16
8+4=12
11+5=16
13+3=16
25+5=30
然后就从第一条思路凑出来的。a*b=2*(较大数-1)+a,所以3*7=2*(7-1)+3=15。

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