首页 -> 2007年第4期
例说中学数学问题解决中数学思维的辩证运用
作者：王有文 崔克忍
G·波利亚在他的“怎样解题表”中把问题解决分成四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。在这四个阶段中，拟定计划和回顾是两个最重要的阶段，也正是数学问题的辩证思维的突出表现所在。下面主要就这两个阶段进行论述。
一、拟定计划阶段数学思维的辩证运用
学生弄清问题后，就开始拟定计划。波利亚认为，要拟定计划就必须先找出已知数和未知数间的关系，也就是找出所有已知条件和结论间的关系。为此，要根据通过第一阶段已得到的各表象之间的关系和以前解决问题的经验，产生直觉，拟定出解决问题的计划。实现计划时如果发现计划不可行，还要重新通过想象或利用其他条件进行推理，产生新的表象，进行新的直感和想象，产生新的直觉思维，拟定出新的计划，如此反复。
(2)哪一个是正确的图形表象？
由拟写计划阶段的思维过程可以看出：形象思维内部的图形表象反映图式表象，图式表象精确地刻画图形表象，直感和想象依赖于表象；逻辑思维中的判断依赖于推理；直觉思维中的直觉依赖于形象思维中的直感和表象；逻辑思维和形象思维互相渗透，推理和判断依靠表象进行；直觉思维指出问题解决的方向，引导逻辑思维，逻辑思维检验直觉思维。
事实上，每一种数学思维内部及不同数学思维之间除存在上述辩证关系外，还存在其他辩证关系：形象思维中的不同表象间存在有整体和部分、特殊和一般等关系；直感和想象能丰富表象；形象思维是其他各种数学思维的基础；在思维过程中各种思维互相渗透，互相促进；形象思维是认识过程的感性认识，逻辑思维是理性认识，形象思维要发展到逻辑思维，通过逻辑思维来进行表述，如此交替往复；形象思维的想象常常能导致创造性思维；直觉思维为创造性思维开辟方向等。
二、回顾阶段数学思维的辩证运用
在第四阶段，学生回顾自己的问题解决过程时，根据已经有效运用过的表象，重新进行简要的判断和推理，检验解决过程的正确性，不同的解决方法常常得到运用，具有创造性的方法也时而会出现。
当解决过程完整无误后，就要对问题本身进行推广，运用类比、特殊化、一般化，逆向思维等辩证思维方法对问题所包含的图形表象和图式表象进行直感和想象，构造出新的表象，产生新的问题，得出有创造性的结论。
显而易见，由原问题得到五个问题，是通过把条件和结论一般化来实现的，创造性思维在这里体现得很突出。
(责任编辑 刘永庆)
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文