首页 -> 2006年第11期
从联系的角度看数学理解
作者：张 萍 宁连华
一､从联系的角度看数学理解的涵义
1.数学知识的外部表征｡为了学习和研究数学,我们需要用某种方式来表征数学知识｡为了交流,表征形式应该是外部的,一般有口头语言描述､书面符号､图画或物理客体｡一个特定的数学概念常可用任意一种或所有这些表征形式来表征｡我们可以在同一数学概念的不同表征形式之间,或同一表征形式中相关的概念之间建立数学信息不同表征之间的联系｡这些外部表征形式之间不是互相独立的,而是有联系的,一般表现为相似或是相异的关系｡
2.数学知识的内部表征｡为了思考数学问题,我们还需要对数学知识进行内部表征,以便我们的头脑对其操作｡联结主义者因不可观察而排斥人脑对知识进行表征问题的讨论,但是我们的大脑对数学知识进行内部表征的过程是确实存在的｡直到认知科学的兴起,智力表征问题才被作为研究的内容｡该学科的观点认为:当人脑在某一概念的内部表征形式间建立联系时,就会产生关于这一概念的知识网络,而且一般认为人脑中的知识网络有两种组织形式——垂直的谱系和蜘蛛网｡当一些表征形式包含其他的表征形式作为它的具体细节时,这种网络结构就像垂直往下发展的家谱,具有明显的层次性;而蜘蛛网型的网络可能是简单的或错综复杂的线形的链,从每个结点散发出许多联系｡
3.数学理解的涵义｡由上文我们知道,一个数学概念通常都有外部表征形式和内部表征形式,两者之间是紧密联系的｡当一个人把一个数学概念的外部表征转化为内部表征并纳入到相应的知识网络结构中,就可以认为他理解了这一概念｡正如希伯特教授所说,一个数学概念､方法或事实被理解了,是指它成了内部网络的一个部分,更确切地说,数学知识被理解了,是指它的内部表征成了智力网络的一个部分｡理解的程度是由其联系的数目和强度来确定的｡说一个数学的概念､方法或事实彻底地被理解了,是指它和现有的网络有更强的或更多的联系｡
二､从联系的角度看数学理解的形成过程和增长方式
1.数学理解的形成过程——新联系的建立｡利用数学理解的涵义,我们可以描述数学理解形成的结构过程｡数学知识的智力表征网络是学习者逐渐地将现存的网络与新的信息联系起来形成的,或是在以前没有联系的信息之间建立起新的联系而形成的｡理解的形成不是一种或有或无的现象,实际上所有复杂的数学概念､数学命题都可以在一定层面上､以完全不同的方式被理解｡因此说理解某一数学知识不是一蹴而就的或者丝毫没有的现象,而是一个逐渐产生的螺旋上升的过程｡
2.数学理解的增长方式——联系的扩展与调整｡知识网络的增长有多种方式,最简单的是线形增长,即把一个新的事实或方法按序联到现有网络上去｡然而,认知专家在对学生的理解过程作仔细分析后发现,理解增长的方式主要是网络中原有表征形式之间联系的调整｡不管是以何种方式,智力网络都必然要发生变化,这种变化就是重新组织｡经过重新组织后形成新的联系,旧的联系可以被改变或被抛弃｡希伯特教授曾着重指出,这一组织过程并非一帆风顺,有可能是一个更为紊乱的过程,有时候表现成暂时的倒退,但是最终的方向是进步,一般是网络的变大或网络的组织更完善｡当产生一个更具有丰富的联系和更具有凝聚力的网络时,理解就增长了｡
三､从联系的角度看数学理解的功能
1.数学理解具有繁殖力——联系的丰富性｡数学知识的高度结构化､网络化有助于理解更具生成性｡因为此时新信息更易被连接或纳入到已有的知识网络中,使已有的理解不断拓展､深化｡学习心理学表明,先前理解得好的知识在新的情况下更有可能产生新的理解,也就比较容易建成以前知识和新的知识之间的联系｡这样就形成一种滚雪球的效应,即指理解的繁殖性｡
2.数学理解能促进记忆——联系的牢固性｡巴特莱特(Bartlett)关于记忆的研究使大家愈来愈清楚记忆是一种构造性的或再构造性的过程,而不是一种被动的储藏工作｡创建新知识与现有知识之间的联系,可以将数学知识联系得更牢固并利于记忆｡原因是:第一,数学知识的整个网络一般不像个别的信息那样容易变质;第二,当一个信息联结到一个较大的网络上时,会有更多回忆它的路径,它也更容易得到恢复｡所以理解可以使记忆中数学知识间的联系更牢固,更不易被忘却｡
3.数学理解能减少必须要记忆的量——联系的紧凑性｡数学理解促进记忆所引发的一个问题就是——什么是必须记住的｡如果某一个数学知识点没有得到理解,它就会单独地､孤立地存入记忆中的某个位置,占用一个记忆单位｡由于工作记忆容量的有限与狭小,显然这会不利于以后的学习｡而当一个数学知识点获得理解以后,它就会与其他知识点紧密地相联,并与它们形成知识网络｡网络的结构越强,需要单独记忆的东西就越少｡随着理解的不断深入,网络内部就会得到简化,网络与网络之间的联系也会加强,一些网络能进一步组成新的整体,从而使整个智力网络结构简化｡所以网络之间的联系越紧凑,需要记忆的量就越少｡当减少了必须要记忆的条目的个数时,信息的提取也更方便了｡
4.数学理解能促进正迁移——提取联系的顺畅性｡迁移是心理学中的一个重要概念｡正迁移是指一种学习能够促进另一种学习,负迁移是指一种学习干扰或抑制了另一种学习｡任何一次学习决不会孤立地存在,它总是受其他学习的影响也影响其他学习｡因此教学要促进正迁移避免负迁移｡在数学学习中,理解活动能建构数学知识的不同表征之间的联系,它在一个知识结构内部或更大的结构范围内以及各个结构之间来建构知识的意义,因而它更能够发挥知识的潜能,为迁移提供了潜在的支持｡在理解形成过程中,对相关知识､方法等的异同进行比较､判别､分析､提炼和抽象,从而打破原以为无关的知识､方法之间的藩篱,为迁移创造了条件｡建立理解后,学生就可以根据知识间的联系,把在一种情境中获得的知识顺畅地提取出来运用到另一种全新情境的学习或问题解决活动中去｡因此,学生一旦理解了数学知识,他们就能表现出对知识应用的灵活性｡
5.数学理解能影响学习信念——建立联系的主动性｡学生在数学学习中的主动与否将决定他们怎样看待数学学习以及他们对数学本质的认识｡如果学生在学习中只是被动地模仿､记忆､训练和操作,他们就会把数学看成一个个没有关联的定理和法则｡学习数学的目的就是记住这些定理和法则,并把它们直接运用到一个个具体的题目上｡这样,学生会认为数学是毫无趣味的,久而久之会造成学生对数学的厌烦而导致学习困难｡而如果学生在学习中主动去寻找知识间紧密而广泛的联系,达到对数学的理解并建立起自己的知识网络结构,他们就会逐渐体会到数学是一个有机的整体｡对数学的理解让学生体会成功的滋味,产生更强的兴趣,学习数学的信心也将倍增｡
四､从联系的角度看数学理解障碍的产生
1.弱联系的崩溃导致遗忘｡如果学生的头脑中只有一些可能相关的数学概念的智力表征是联系着的,或者联系是很弱的,理解就将是有限的｡脆弱的联系在面对冲突或得不到支持的情况下,就很可能产生对数学的概念､方法或事实的不理解甚至遗忘｡比如高中学生刚开始学“极限”的知识,他的内部网络知识不能给予很多对这一概念的支持,学生无法很好地理解它,就很容易遗忘｡
2.错误联系的建立导致负迁移｡建构主义认为,学生头脑中的数学知识是自己建构的,而不是从教师或书本那里接受的｡这就意味着学生是从与外界的交往中建立和完善自己的内部表征的｡学生在构造过程中关键的一点是他们的创造发明｡学生不断地发明自己的方法去理解数学知识,但是如果由于种种原因他们一旦建立了错误的联系就会导致前文中提到的负迁移｡如在数学课上所犯的一些“类似错误”就可以解释为他们自己建立与错误的相似联系进行创造而产生负迁移的结果｡
五､从联系的角度看促进数学理解的教学途径
1.强调“先行组织者”巩固弱联系｡正确选择与学生已有知识相关的预备知识作为出发点,使新知识与已有知识直接建立联系｡
2.精心设计课堂主题的序列以便学生建立联系｡数学课堂的内容应该是连贯的,无论是课间或课内的主题内容应该具有相关的联系,并且这种联系应该设计得使学生容易接受｡
3.鼓励学生使联系明确化｡应该对数学概念之间的联系进行讨论,并鼓励学生主动去考虑它们之间的联系｡对于一些特殊的､重要的联系,教师不要明确地去教授,而努力让学生自己去建立明确的联系并要求他们做出解释｡
4.阐明错误联系的实质消灭负迁移｡学生的错误和错误概念是可以从所形成的联系来理解的,解决问题的关键不是指出错误联系的作业表现,而是弄清造成错误的关键性联系的性质｡
(责任编辑 李海燕)