首页 -> 2006年第5期

新课标背景下高考函数综合题的新趋向

作者：黄福有

　　众所周知，函数问题历来是高考命题的重点与热点。自２００３年４月教育部正式制定并颁布《普通高中数学课程标准（实验稿）》（以下简称“新课标”）以来，新增加的导数等知识内容给高考函数问题注入了新的活力，大大拓展了命题的空间。综观近几年全国及各地独立命制的高考数学试题，不难发现融入新课标理念的创新题比比皆是，其中一批以高层导数为背景的高视点的函数综合题纷纷闪亮登场，构成了一道亮丽的高考风景线，也显示出今后高考数学命题的一个新趋向。
　　仔细研读这类函数综合试题，其体现出的主要特征有：
　　
　　一、综合性强，往往融函数、方程、不等式、数列、导数等主干知识模快中的若干知识点于一题，着重在知识的交汇点、结合点上命题
　　例１（２００４辽宁，压轴题）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｅ^x＋ａ）（ａ＞０）．
　　（Ⅰ）求函数ｆ（ｘ）的反函数ｙ＝ｆ^-1（ｘ）及ｆ（ｘ）的导数ｆ′（ｘ）；
　　（Ⅱ）假设对任意ｘ∈［ｌｎ（３ａ），ｌｎ（４ａ）］，不等式｜ｍ－ｆ^-1（ｘ）｜＋ｌｎ（ｆ′（ｘ））＜０成立，求实数ｍ的取值范围。
　　评析：本题主要考查函数、不等式、导数等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力，将初等数学与高等数学有关知识有机地紧密结合起来，巧妙地融于一炉，设计精心，创意昭然，熠熠生辉，这是本题的最大特色；值得称道的是本题难度适当，梯度合理。对于（Ⅰ）入题不难，对于（Ⅱ）如果恰当引入辅助函数，运用换元转化的数学思想方法，将使问题化繁为简，化难为易，较易求解。
　　例如，由题设可得ｌｎ（ｅ^x－ａ）－ｌｎ（ｅ^x＋ａ）＋ｘ＜ｍ＜ｌｎ（ｅ^x－ａ）＋ｌｎ（ｅ^x＋ａ）－ｘ．设φ（ｘ）＝ｌｎ（ｅ^x－ａ）－ｌｎ（ｅ^x＋ａ）＋ｘ，ψ（ｘ）＝ｌｎ（ｅ^x－ａ）＋ｌｎ（ｅ^x＋ａ）－ｘ，于是原不等式在题设条件下恒成立，就等价于φ（ｘ）＜ｍ＜ψ（ｘ）恒成立……（※）求出φ′（ｘ）、ψ′（ｘ），注意到Ｏ＜ｅ^x－ａ＜ｅ^x＋ａ，则有φ′（ｘ）＞０，ψ′（ｘ）＞０，从而φ（ｘ）与ψ（ｘ）在［ｌｎ（３ａ），ｌｎ（４ａ）］均单调递增，因此不等式（※）成立，当且仅当φ（ｌｎ（４ａ））＜ｍ＜ψ（ｌｎ（３ａ））即ｌｎ（12/5ａ）＜ｍ＜ｌｎ（8/3ａ）。
　　
　　二、抽象性高，对于“双基”不够扎实的学生解题时将感到无从下手
　　例２（２００４江苏，压轴题）已知函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）满足下列条件：对任意的实数ｘ₁，ｘ₂，都有λ（ｘ₁－ｘ₂）²≤（ｘ₁－ｘ₂）〔ｆ（ｘ₁）－ｆ（ｘ₂）〕……（１），和｜ｆ（ｘ₁）－ｆ（ｘ₂）｜＝
　　｜ｘ₁－ｘ₂｜……（２），其中λ是大于０的常数。设实数ａ₀，ａ，ｂ满足ｆ（ａ₀）＝０和ｂ＝ａ－λｆ（ａ）……（３）
　　（Ⅰ）证明λ≤１，并且不存在ｂ₀≠ａ₀，使得ｆ（ｂ₀）＝０；
　　（Ⅱ）证明（ｂ－ａ₀）²≤（１一λ²）（ａ－ａ₀）²；
　　（Ⅲ）证明［ｆ（ｂ）］²≤（１一λ²）［ｆ（ａ）］²．
　　评析：本题着重考查函数、不等式等主干知识以及综合运用的能力，既具有较强的综合性，更具有极强的抽象性，属抽象函数型的证明题。一般学生往往心存畏惧，难以入题，裹足不前。
　　解答本题的关键是深入探究条件和结论之间的内在联系，对于不等式的证明常用“放大”的方法去考虑和应对。如果运用自如，将会使问题迎刃而解。例如对于（Ⅰ）可作如下探证：任取ｘ₁，ｘ₂∈Ｒ，ｘ₁≠ｘ₂则由（１）（２）可得λ（ｘ₁－ｘ₂）²≤（ｘ₁－ｘ₂）［ｆ（ｘ₁）－ｆ（ｘ₂）］≤｜ｘ₁－ｘ₂｜｜ｆ（ｘ₁）－ｆ（ｘ₂）｜≤｜ｘ₁－ｘ₂｜²，从而λ≤１．正难则反，进而结合反证法追索：假设有ｂ₀≠ａ₀，使得ｆ（ｂ₀）＝０；则由（１）式知０＜λ（ａ₀－ｂ₀）²≤（ａ₀－ｂ₀）［ｆ（ａ₀）－ｆ（ｂ₀）］＝０矛盾，故不存在ｂ₀≠ａ₀，使得ｆ（ｂ₀）＝０．对于（Ⅱ）、（Ⅲ）可以用类似的思考方法获证，此从略。
　　
　　三、解题灵活性大，给不同层次学生创设充分显示其数学才华和学习潜能的平台
　　例３（２００４全国卷Ⅲ压轴题）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ，ｇ（ｘ）＝ｘｌｎｘ．
　　（Ⅰ）求函数ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值；（Ⅱ）设０＜ａ＜ｂ，证明：０＜ｇ（ａ）＋ｇ（ｂ）－２ｇ(（a+b）/2)＜（ｂ－ａ）ｌｎ２．
　　评析：自导数进入高中课程以来，顿使函数的研究推向了深入，出现了前所未有的函数研究的热潮。于是在函数、不等式、导数、方程等知识的交汇处命制的高考创新题自然而然应运而生。本题就是将初等数学与高等数学巧妙结合起来的一道经典好题。
　　对于（Ⅰ）入题不难，易知在当－１＜ｘ＜０时有ｆ′（ｘ）＞０，当ｘ＞０时有ｆ′（ｘ）＜０；显然当且仅当ｘ＝０时，ｆ（ｘ）的最大值ｆ（ｘ）_max＝０．对于（Ⅱ）有相当难度，但是“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。只要从多角度、多方位加以深入探究，除了全国卷中提供的证明方法以外，如果我们联想到高等数学中的函数凸凹性的应用，以及微分中值定理中的拉格朗日（１ａｇｒａｎｇｅ）中值定理的应用的初等化，看似“山重水复疑无路”，但都可以张开思维的翅膀，拓展解题思路，寻觅到不同的解题途径，达到“柳暗花明又一村”的境地。此外，如果我们能巧妙地运用构造性证明，对于（Ⅱ）的证明同样不难奏效。限于篇幅，此不赘述。
　　
　　四、能力要求突出，具有较强的选拔功能
　　例４（２００５辽宁，压轴题）函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间（０，＋∞）内可导，函数ｆ′（ｘ）是减函数，且ｆ′（ｘ）＞０．设ｘ₀∈（０，＋∞），ｙ＝ｋｘ＋ｍ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ₀，ｆ（ｘ₀））处的切线方程，并设ｇ（ｘ）＝ｋｘ＋ｍ．
　　

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