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如何构建数学思维“问题链”
作者：张素玲 吴维煊
一、建立数学认知结构系统
二、建立数学想象系统
三、学会产生数学问题
美国数学家哈尔莫斯指出：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学科学的起源和发展是由问题引起的。我国秦汉时期的数学著作《周髀算经》和《九章算术》就是当时数学家解决数学应用问题成果的汇集。几何学萌芽于古埃及，也是从尼罗河流域的土地测量问题而产生的，并后来在古希腊发展起来的。由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程中总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。因此数学问题是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。而在这样的理解下，培养学生发现问题和提出问题的能力已成为数学教学不可忽视的重要工作。要求数学教师积极探讨有利于发展数学思维、培养提出问题能力的典型形式——问题链。既通过对一个数学基本题的讨论、推广和引伸来探讨它们在数学学习中的积极作用。
四、如何构建数学思维“问题链”
１．性质链：性质链一般是在命题条件相同的情况下，推出不同形式的各种结论，它可以深化对某一数学概念的理解，即在内涵方面使认识更丰富。
链ⅠＰ是正三角形ＡＢＣ外接圆劣弧上任意一点，求证ＰＡ＝ＰＢ＋ＰＣ
从数学思维角度看，表明了正三角形外接圆上任意一点到三角形三顶点的距离之间存在一种一次式的等量关系，这就启发我们去思考是否还存在这些距离之间（也可使用正三角形边长）的倒数关系？二次式、三次式的等量关系？
２．推广链：对一个命题的推广有多种途径可循，一般是把条件进行相似性变换，即在数学元素的数量上和维数上进行推广。几何方面常表现为线段数或边数（角数）的增加，或从平面到空间的推广；代数方面常表现为变量个数的增加；三角方面常表现为角数或含角的三角数量的扩充。
得到结论表明，圆内接正奇数边形一段劣弧上的任意一点到各顶点的距离间隔和相等，而对于正偶数边形就没有该结论。从数学思维角度领会，对于边数是奇数和偶数这两种数量类别特征上的差异，就造成了性质的差异。类似的情况在许多其他类型数学问题上有相同的反映。由此可以领悟到某种数学规律的节律性表现，这对丰富学生的数学思想，发展学生的数学思维是有利的。
（３）引伸链：引伸和推广是有区别的，推广是一种特殊的引伸，它的原则是从特殊向一般推进。而引伸则只要具有某种联系就可以进行。
链Ⅲ①证明正三角形内任意一点到三边距离之和等于定值
②证明正多边形内任意一点到各边距离之和等于定值
③证明等边凸边形内任意一点到各边距离之和等于定值
④证明正多面体内任意一点到各面距离之和等于定值
命题①很易证得，定值等于三角形一边上高，命题②是①的推广，可用面积分解求和得证，命题③证明方法与②相同，命题④是命题③向空间推广，可用体积分解求和证明。这是一条引伸和推广相结合的命题链，一个共同特征是结论性质相似，而对条件进行变化，引伸链的最大特点是体现发散思维，而这正是培养创造性思维的核心。因此，在教学中如何组织适当的引伸链，从矛盾、差异的展开中获得知识是训练数学思维的一条重要途径。
在数学教学过程中不仅要“教知识”，更重要的是“教思考”、“教猜想”，只有进行思考和猜想才能提出问题、发现问题。问题解决是数学思维的最重要的一类基本过程，同时也是一种广义的数学学习过程。问题是数学的心赃，而问题解决是数学思维的核心。数学问题的产生渊源于人类的社会实践，即生产、生活和科研活动的需要，这类问题可称为现实数学问题。但是在数学教学中使用的大量问题是由于数学学习的需要而编拟派生的，这类问题可称为学校数学问题。因此，数学问题的重要性主要地并不在于其直接的应用，而是其数学思维训练的价值和潜在的对发展智力的影响。当然，解决现实的数学问题也是数学教学的目的之一。数学问题包含四个要素，即条件、结论、解题依据与解题方法。通常把四个要素中至多只有一个是未知的问题称为封闭型题，而把四个要素中有二个或三个是未知的问题称为是开放型题。衡量数学问题的开放性或思维发散程度并不完全取决于问题要素未知个数的量的方面，而要看到问题要素的质的方面，封闭型题的质的表现是：有完备的条件和固定的答案，而开放型题的质的表现是条件不完备或答案不固定，要求学习者能动态地分析可能的条件与面临的问题之间复杂的关系，要求学习者参加问题的建构与引伸，因而不仅需要逻辑思维，还常常需要形象思维与直觉思维的积极参与。本文给出的例子的意义，首先是一个命题链，而随后就要根据命题链组织提问，设计相应的问题链。在教学过程中应由问题链经过尝试探索、证明求解，再生成命题链。因此，构成问题链的关键在各问题之间的联系转化时，插入合理的带有启发性的提问，使问题链发挥潜在的功能。构成问题链的主链必须从基础知识出发，以此为基础提出问题，让学生产生认知冲突，产生希望解决问题的心理。从学生知识可接受性的实际出发，为问题链确定合理的难度和适当的思维强度，促进学生求异思维和发散思维的发展，提高学生分析问题、解决问题和进一步提出问题的能力，使问题链在数学学习过程中充分发挥作用。