首页 -> 2007年第11期
开发习题的利用价值
作者：杨晓荣 储 宏
一、 巧妙隐藏，丰富想像
苏教版课程标准数学实验教材三年级（上册）“认识分数”中“想想做做”第3题：先填一填，再读一读。
通常情况下，教师对该题（上图1）的处理都会由提问引入：一张长方形纸可以用自然数1来表示，你能说出下面两张长方形纸的涂色部分各表示多少吗？先自己填一填，再读一读。这样处理，教学过程虽然很流畅，但训练目标过于单一，学生对几分之一与1之间的联系（本题侧重点）感受不深。如何突出重点，拓展习题的训练功能呢？多次试教和反复比较，我们作了如下改进：
师：这里有一张长方形纸条（上图2①），现在我们把它全部涂上颜色，用数“1”来表示，那现在涂色的部分是几分之一？（出示上图2②）
学生回答后，教师通过移动色块加以验证。
师：现在涂色的部分大约是几分之一？（出示上图2③）
学生的答案中以 居多。
师：既然这么多同学都认为是，能说说你们是怎么估计的吗？（生说理由）
师：瞧，这个同学可不是随便估计的，他是借助观察和比较的，多好的思考问题策略啊！好，下面我们完整地看一看，把整条纸看作1，平均分成3份，那每一份就是，平均分成6份，每份就是。那么，今天我们所学的分数和以前认识的1之间有联系吗？（有）
师：想像一下，再往下平均分，可能出现几分之一？生：可能出现 ……
师：同学们，当平均分的份数越来越多的时候，表示这里每一份的分数就越来越——（小）
比较中容易发现，改进后的教学教师隐去了习题中原本清楚呈现的三、六等分的线段，这样，原很简单的一道习题呈现了其独特的思考价值和魅力：它既巩固了对分数的认识，沟通了分数与整数的联系，又拓展并完善了学生的认知结构；既培养了估算意识，渗透了估算策略，又适时地展开想像，渗透了极限思想。巧妙隐藏，使“知识背后的知识”得到了充分揭示，习题的数学内涵得到了充分挖掘。
二、 适时留白，激活思维
苏教版课程标准数学实验教材四年级（下册）“运算律”“想想做做”第1题中有（42+35）×2=42×□+35×□，27×12+43×12=（27+□）×□等四道巩固性习题，练后校对，学生的正确率较高。但通过练习学生对所学新知是否达到了真正意义上的理解呢？练习对启迪学生思维、带给学生“数学思考”方面的作用是否得到了较好发挥呢？答案是否定的。于是，在另一平行班的教学中，我把其中的第4小题改为46×73+--×--，让学生把算式补充完整，要求能运用运算律进行简便计算。其过程为：
生1：46×73+54×73。
师：这道题怎么简算？说说你的计算过程。（生答略）
师：大家觉得这样计算简便吗？
生：（齐）简便。
生2：我的想法是：46×73+46×27，因为46×（73+27）=46×100=4600。
师：同意他的想法吗？（同意）
生3：46×73+20×73。
生4：我觉得这样填数不简便，因为（46+20）×73=66×73，还得列竖式计算。
师：问题来了，那你们认为什么情况下运用乘法分配律才能使计算简便？（小组讨论，全班交流）
生5：两个加数的和能凑成整十、整百数时，运用乘法分配律计算比较简便。
生6：能凑成整千数也行。
师：好！请同学们再举几个例子，说说是怎么简算的？（学生的兴趣再次被激发，热烈讨论。）
南大哲学系郑毓信教授认为：“法则教学”的关键所在是我们应当切实避免“机械学习”（包括机械记忆与单纯模仿性的学习）并帮助学生很好地做到“理解学习”。适时留白恰恰为学生构建了理解学习的“绿色通道”，为发展学生的数学思维提供了一个载体和空间。在这其中，学生为了填补认知“空白”，他们饶有兴趣地寻求解决问题的办法，积极主动、多角度、创造性地进行思维。最终，知识，在质疑中得以确认；意义，在补充中得以拓展。新知的巩固从形式、肤浅走向了实质、深刻。
三、 增设比较，优化策略
苏教版课程标准数学实验教材三年级（下册）“统计”（求平均数）“想想做做”中安排了这样两道习题：第1题移动笔筒里的铅笔（铅笔的支数分别为6支、7支、5支。），看看平均每个笔筒里有多少支。同时还配有一个问题：还可以用其它方法求出来吗？第2题如下图(2)，问题是求这三根丝带的平均长度是多少？
习题的编排意图、目的非常明确：分别用“移”或“算”的方法巩固新知，应该说训练达成了上述目标。但问题是，“移”或“算”本应是由学生自主选择、灵活运用的求平均数的方法在这里却因指令过于明确、直接而成了机械训练，那没有了指令学生会作出何种选择呢？能主动进行策略上的优化吗？习题怎样改动才能展开这一过程？在多次研讨的基础上，我们作了改进：增设比较，优化策略，改第1题为图（1）。其过程为：
师：你能求出下列三条丝带的平均长度吗？（出示图1）先想一想你打算用什么办法来求？
生1：我是用移多补少办法求的。（学生说教师用电脑演示）
师：如果第二条丝带变得很长，现在你会用什么办法来求平均长度呢？（出示图2）
生2：我是列式计算的：14+24+16=54cm，54÷3=18cm。
生3：我的结果也是18，但我是用的移多补少法求得的。
师：为什么刚才大部分同学选择用计算的方法呢？
生4：第1题因为它的数据很接近，用移多补少的方法比较简便。第2题数据相差很大，用移多补少一下子看不出来，所以列式计算较好。
生5：我发现如果一组数据比较接近，用移多补少法求平均数就比较简单。
生6：我补充，如果一组数相差比较大，用列式求平均数比较合适。特别是在几个数相加时，能凑成整十数，整百数就更简便了。
容易发现，改进后的教学少了些限制，多了些空间，学生经历了从策略选择到策略优化的真实、生动的过程。学生灵活运用知识解决问题的能力得到培养，对知识本质的认识得到加深。学生的认知结构得到完善和提升，练习的功能得以拓展。
四、 练后再思，高潮迭起
苏教版义务教材第十一册（修订本）第38页有这样一道口算题：
作为口算题的教学，练后核对一下答案该题的教学便可结束。但该题的作用仅限于此吗？题中被除数、除数数字上的一些特征不正好反映了分数除法的一些情况吗？能否作为资源加以利用呢？于是，我的教学在继续：
师：从口算的结果看，同学们学得不错。老师要提醒大家的是，其实两题中还隐藏着许多规律，我们看一看谁的眼睛最“亮”？（学生思维的闸门随即打开，静静几分钟后学生开始发言。）
生1：我发现分母相同的两个分数相除，可以直接用被除数和除数的分子相除。师：能举例说明吗？生1：比如。
生2：我发现一个数除以它本身，结果都等于1。
生3：这个数不能为0，因为0不能作除数。师：你的思考很周密。
生4：我在计算过程中发现，被除数不变，除数越大，商越小；除数越小，商反而越大。比如被除数都是 ，除数分别是 ，商分别是1、2、4。师：你能从整体上进行思考，真了不起！
生5：受生4的启发，我发现除数相同时，被除数小，商也小；被除数大，商也大。师：你很善于倾听和联想，真好！
生6：我发现1除以任何非零的数，结果正好是它的倒数。比如 。
生7：我还发现第一组题中，除数从上往下依次缩小2倍，而商却依次扩大2倍。
提供一个舞台，收获片片精彩，这是片断教学给我们的启示。因此，习题教学不应只停留于让学生练一练，练习后，我们还应为学生提供静下心来细细咀嚼和回味的机会，让学生带着新的问题去进行新的观察、比较、探索、发现。这样，不仅会使习题本身所内隐的潜在价值得到最大限度的释放，而且在不断的探索、发现中学生还能时时体验到学习成功的愉悦。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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