首页 -> 2007年第7期
数学判断题不应有歧义
作者：吴存明
案例描述
案例1
判断：从圆心到圆上任意一点的距离处处相等。
(来源：苏教版第十一册教材《圆的认识》练习二十四第2题)
这是近日我校举行青年教师“同课异构”式赛课中出现的一道判断题。在教学时三位赛课教师却给出了两种不同的答案，评课时也出现了两派不同的意见。有教师认为该命题错误，理由是这样表达不严密，应该加上“在同一个圆内”。也有教师认为恰好相反，该命题正确，因为这题考察的是“从圆心”到哪里的距离，如果是“从圆心”到“圆内”或是“圆外”那就不是半径的距离了，就不对了。另外，这题可以看作已经默认是在“在同一个圆内”，无需说明，不作说明符合实际生活中的语言规范，是一种约定俗成的省略，就像“妈妈比女儿年龄大”，没有谁在说之前加上“在女儿是该妈妈所生的前提下”这句话吧?同理，总不可能是从这个圆的“圆心”画到别的圆的“圆上”吧，如果可能那就是无理取闹了，还是数学问题所讨论的范围吗?
孰是孰非，各执一词，谁也说服不了谁，这个题算是有歧义的判断题。笔者不禁要问：这样的歧义问题有何价值?数学判断题能有歧义吗?为什么不能把命题表达准确了?或正确或错误都行，但要准确，不能在一些枝节问题或无关问题上引起不必要的争论。反观当前的小学数学教学中，像这样有歧义的判断题还有不少，举例如下。
案例2
判断：百分数是分母为100的分数。
(来源：中国少年儿童出版社《数学教案与作业设计》第十一册百分数的配套练习)
这道题如果从百分数的意义上讲，答案显然是错误的。“虽然世上先有分数，后有百分数，百分数投胎于分母为100的分数。但是，随着社会的发展和科技的进步，分数与百分数两者在意义上不完全相同了”(参见《中小学数学》2001年第7、8合刊第62页“关于百分数的若干认识”。)现行教材对于百分数的定义也很明确：“表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数”，看来百分数是用来表示两个数量之间的关系，而并不等于分母是100的分数。
但是如果我们从百分数的归属上来说，这道题应该是正确的，因为百分数属于分数的一类。分数有两类：一类是表示具体数量的，一类是表示两个数量之间的关系的，即分率。从这个角度说，百分数属于分数中的一种，并且也是分母为100的分数。
案例3
判断：任何一个数和它的倒数相乘都得1。
(来源：某地2006年第十一册数学评测试卷)
对于此命题，一些学生认为是错误的，因为这里的“任何一个数”并没有把0去除。这个数有可能是0的情况，0乘任何数都得0，并不一定等于1。还有一些学生则认为，书上明确指出“0没有倒数”，那此命题中说“一个数和它的倒数”，“一个数”已经不包含是“0”的情况了，否则“0这个数和它的倒数相乘”本身就错了，因而此题正确。
案例4：
判断：一批种子做试验，有100粒发芽，5粒没有发芽，发芽率是95％。
(来源：中山大学出版社《小学毕业班名师精讲精练题庳》)
教师出这道题的本意是判断这道题是错的，因为学生会误算成(100-5)÷100＝95％，但是用正确方法算是100÷(100＋5)＝0.952380……≈95％。虽然命题中少写了一个“约”字，有可能使学生的想法和出这道题的考察本意有出入。
反思重建
笔者认为，判断题的命题句通常是一些比较重要的或有意义的概念、事实、原理和结论的正例或反例，能有歧义吗?行文至此，显然是不能的。教师在出判断题时须注意两条策略。
策略1：从考察的知识指向出发。对于这种模棱两可的歧义题目，专家学者都存在争论，花上“千字文墨”都很难论述清楚是正确还是错误，何况学生呢?如果一个判断题从意义的理解是正确的，而从归属上来理解又是错误的，还是不出为妙。如案例2中“百分数是分母为100的分数。”这样的判断题出得欠妥，因为对此判断题本身有了不同的理解，会使学生对“百分数”的定义产生误解，而不是对“百分数”的概念更加明确，这也就违背了出这道题的本意。又如案例1中“从圆心到圆上任意一点的距离处处相等。”可以干脆改为“在同一个圆内，从圆心到圆上任意一点的距离处处相等”，这样考察内容就明确了。也可以换个明确的知识点考察，如改为“连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径”，用以考察概念，这样问题的指向清楚了，避免拘泥于非本质内容而沉浸于无休止的争论中。
策略2：从学生的思维过程出发。教师在出判断题时，切忌出类似如案例4中“一批种子做试验，有100粒发芽，5粒没有发芽，发芽率是95％”这种题目。因为这类题目平时比较优秀的学生更容易错，他们比一般同学想得深，于是经过计算约等于95％是成立的。所以此题可以改为“一批种子做试验，有100粒发芽，15粒没有发芽，发芽率是85％”，这样，正确解法是100÷(100＋15)＝≈87％，就不会出现上述歧义了。又如案例3中“任何一个数和它的倒数相乘都得1”，干脆把“任何”这个词去除，改成“一个数和它的倒数相乘都得l”，能为学生的思维过程着想就要着想，我们是评价学生的学业，而不是用难题来故意刁难学生。
理性思索
由上述的案例分析与反思重建，笔者觉得问题的焦点已经不再于答案本身，我们需要思考的是：这类带有歧义的判断题是“有价值的数学”吗?它究竟能给学生带来什么?由此进一步思索：我们的数学教学到底怎么了?
1．数学知识：是客观，还是主观?对于下面这道判断题，老师们并不陌生。“含有未知数的式子叫方程。”判断错误，应把“式子”改为“等式”才对，我们一直这样教学生、考学生。可是这样判断，就是绝对正确了吗?张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必正确，实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们研究的方程。例如，x－x＝0，对一切x都对，何必解呢?反过来，把解‘含有未知数的不等式’，称之为‘解不等式方程’，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。”看了这段话，我们有何感想?袁振国教授说：“数学就是人们的一种主观建构，从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性，但我们是否也应该关注数学的主观性。在关注数学事实的同时，是否更应该关注孩子的数学经验。“3×4”变成“4×3”是否就影响了学生对乘法本质意义的理解呢?现在我们中国的数学教育不已经改过来，不分“乘”和“乘以”了么，省去了多少主观困扰。2．评价内容：是形式，还是本质?数学是严谨的，逻辑性强，但这种人为制造的无谓争论除了给学生带来困惑与茫然之外还能带来什么?这种现象的产生实际上是过度追求形式化的结果。当我们还陷于两个因数位置之争时，西方教育界却提出了“非形式化的数学教学”口号。形式化固然是数学的特点，但绝对的形式化是做不到的，适度的非形式化反而有利于学生把握数学的实质。没有说明“在同一个圆内”，就会导致学生拿此圆比彼圆吗?因此，数学教学判断题不能一味追求表达形式的逻辑性，不能过于咬文嚼字、死扣字眼，这样的结果只会把大部分学生“吓跑”，并不能促进学生在数学学习中真正意义的发展。最后，笔者认为数学判断题不能有歧义。有歧义的数学判断题本身与数学的严谨是不协调，又何谈这严密那逻辑的呢。由此，我们的数学教学也应呼唤返璞归真，以求得对数学精神实质的把握与形式化表达的动态平衡。
责任编辑：陈国庆