首页 -> 2006年第12期
谈小学数学概念的教学
作者：陈开勋 鞠锡田
一､ 生活概念与数学概念的联系
众所周知,数学概念的抽象性给以形象思维为主的小学生带来了理解上的困难｡另一方面,数学概念和生活概念有着密切的联系,本质上数学概念都直接或间接地来自生活概念｡小学生具有一定的生活经验,一些生活概念是他们头脑中最亲切最牢固的部分,虽然有的不够严密,有的甚至是错误的,但这正是小学数学概念教学的起点｡教学中要充分挖掘二者的联系,利用好生活概念这一宝贵资源,形成和建立数学概念,加深对数学概念的理解｡具体地,就是要在教学中多提供感性的富于启发性的材料,在丰富的事物表象中,利用生活概念来形成数学概念｡譬如“角的大小”是指角的两边张口的大小,这里“张口大小”是生活概念,教师可利用剪刀等实物演示“张口由大变小”的过程,以加深对角的大小的理解｡这样的例子是很多的,像借助黑板角､桌子角等生活中“角”的概念抽象出数学中的“角”,借助生活中的“方形”来理解“正方形”;借助生活中对“直”和“射”的认识,形成数学概念“直线”“射线”等等｡在数学概念建立后,还要从多个角度与相应的生活概念联系,对比异同,强化对数学概念的理解｡
数学教育家弗赖登塔尔曾谈到操作生活概念的重要性,他认为这是数学学习的最低层次,也是最重要的层次,是不可缺少的,但又是暂时的｡也就是,教学要利用好生活概念,但又不能停留在生活概念｡以二年级“可能性”的教学为例,它是数学中“概率”这一概念的通俗化,直接来源于现实生活中的一类现象——不确定性现象｡教学应分成三个层次｡第一层次,要使学生认识到生活中的现象可分为“一定”､“可能”和“不可能”,并使学生意识到绝大部分事情是“可能的”,这是最低层次的教学｡遗憾的是,现实中不少教师就停留在这一层次,满足于让学生用“可能”“一定”“不可能”大量举例造句｡学生对“可能性”缺乏深入理解,依然停留在生活概念层面｡第二层次,要使学生对于那些“可能的”事情,体验到有的可能性大,有的可能性小｡教学重点应放在如何让学生体验上｡第三个层次,使学生初步尝试估计事情发生可能性的大小｡可以说,只有到后两个层次,学生才能实现从生活概念到数学概念的过渡,也才能有效地发展数学思维品质｡当前那种不求甚解,追求课堂上的华丽热闹,使数学课缺乏“数学味儿”,根源之一,就是教学停留在生活层面,没有处理好生活概念和数学概念的关系｡
二､ 同一概念不同表示方式之间的联系
小学阶段对概念本质属性的揭示主要有以下几种途径:(1)图画式｡借助图画揭示概念的本质属性,如自然数1~9的概念;(2)描述式｡用描述的方式说明概念,如“小数”的概念;(3)定义式｡用下定义的方式揭示概念的本质属性,如“三角形”的概念;(4)渗透式｡低年级渗透,高年级正式给出概念,如“方程”的概念;有的概念只是渗透,直到中学才能给出,如“函数”概念｡由此,教学要适合学生的特点,注意概念教学的阶段性｡
可见,同一个数学概念,可以用多种方式来揭示其本质属性｡教学具体概念时,要引导学生对同一概念尝试给出不同的表示方式｡例如可用操作､举例､画图､语言描述等方式｡在“角”的概念教学时,有位教师是这样做的:第一步让学生看录像和观察实物找角,在找的过程中辨别角与其他图形各自的属性;第二步,让学生把找到的角指出来,逐渐撇开角的非本质属性,将本质属性渗透到找角的方法中;第三步,通过用纸折角,用带孔的小棒做角､画角,最后说角的各部分名称等环节,来进一步明确概念的内涵;第四步,给出角的正反例证让学生辨析､巩固概念｡可以看出,这位教师引导学生从多个角度用多种方式来揭示“角”的本质属性｡
对能下定义的概念,要引导学生尽量用不同的定义方式来揭示这一概念的内涵｡如教学“质数与合数”的概念时,一位教师让学生用相同的小正方形摆长方形｡问:2个小正方形时有几种摆法?3个､4个､5个……时又有几种摆法?将你探索的结果填入表格中｡学生发现,小正方形的个数是2,3,5,7……时,摆法只有一种｡教师说,像2､3､5､7､11这样的数叫做质数,像4､6､8､9这样的数叫合数,那么你认为什么样的数是质数,怎样的数是合数?这就是让学生给出定义了｡学生说:“只有两个因数的数叫做质数”,“只有一种拼法的数是质数”,“只能表示成一个两个因数相乘算式的数是质数”,“除2外所有的偶数都是合数”,“质数只有一种拼法,合数有两种或两种以上拼法”等等,学生们在交流中给出了各式各样的定义｡正是在这个过程中,学生加深了对质数和合数的理解｡可以说,能否对同一概念给出多种不同的定义,是衡量对这一概念是否理解的一个重要标志｡但同时也应该指出,虽然可以对一个概念给出多种定义,教学还是要注意让学生围绕一个定义来掌握这个概念｡这个定义一般称为典型定义｡比如“一个大于1的整数,如果除了1和它本身以外,没有其他约数,这样的数称为质数”,就是质数的典型定义｡教材中给出的定义一般是概念的典型定义｡有经验的教师教学时能使学生对典型定义达到耳熟能详,出口成诵的程度,做法值得借鉴｡
三､ 不同概念之间的联系
通过联系以学习新概念｡数学中的任何一个概念,只有与其他概念相联系,才能生成和发展｡重视概念之间的联系,是概念理解的重要方面｡利用已有的概念来定义新概念,同化新概念是数学中常见的,在此不再举例阐述｡
通过联系以学习思想方法｡概念和概念之间的关系有强抽象､弱抽象､广义抽象的关系,因而概念之间的联系包含着数学方法｡它能使人高屋建瓴地理解数学｡如平行四边形通过“割补”的方法化归为矩形;三角形､长方形､正方形､平行四边形的面积公式都可统一到梯形的面积公式;看上去不相干的“整数加法”､“分数加法”､“小数加法”都可统一到“单位相同的数相加”,等等｡在教学中,教师引导学生在不同概念之间建立联系的时候,就必然会渗透数学思想方法的学习｡
通过联系以形成概念系统｡引导学生弄清概念之间的纵向联系,形成概念小系统｡如整除､倍数､公倍数､最小公倍数;整数､约数､公约数､最大公约数等都是纵向发展形成的概念系统｡也可横向组织成小系统｡如最小公倍数､最大公约数､分解质因数､质因数､短除法等就是横向联系在一起的系统｡再如“除法”“分数”“比”看上去是三个“距离”较远的概念,通过下表将它们横向联系类比,能加深理解｡
从某种意义上讲,学习的过程就是学习者建立联系的过程｡学习概念应注重形成概念联系,利用丰富､牢固､准确的联系来促进对概念的理解,这是概念教学的关键所在｡