首页 -> 2007年第6期
注重解题反思，提高数学解题能力
作者：钟家兴
[关键词] 解题反思 系统小结 查漏补缺 提高能力
如何迅速提高数学解题能力，有诸多条件和因素。长期的教学经验表明，不少学生在完成作业或进行大量解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高数学解题能力的重要环节：解题后的“反思”。何谓“解题反思”？当一道数学题经过一番苦思冥想而解出答案之后，还必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法──一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论──举一反三或多题一解？……如此种种，就是“解题反思”。许多学生完成作业后，因为学习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯、解题能力和思维品质，未能在更深和更高层次方面得到有效地提高和升华。学习数学，也就只能登堂未能入室。为了提高同学的解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
解题反思的积极意义有如下几个方面。
（一）积极反思，查缺补漏，确保解题的合理性和正确性。
解数学题，有时由于审题不准、概念不清、忽视条件、套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误；即学生解数学题，不能保证一次性完全正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误，应该引以为戒。
1.结论荒唐，引为笑柄。一名同学做立体几何必修本P80第7题，由于单位换算和计算出错，竟然计算出电镀100克小镙丝钉需要78千克锌！另一名同学计算一颗地球卫星离地面的最远距离是10厘米！如此荒谬绝伦的错误结论，本来只凭生活常识就可鉴别真伪，可惜解题者竟深信不疑，不做题后反思和检查就将作业上交，传为笑话。
2.以特殊代替一般，“瞒天过海”。高一代数作业题：证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)内是减函数。
一些学生这样证明：
∵f(-1)=2，f(-2)=9，f(-3)=28……
这是非常明显的错解。同学由于对函数单调性的定义的理解不深，把解方程的方法套用于解不等式，用特殊代替一般性的结论而草率下结论。解后不加反思，造成大错。（正确解法略）
3．臆造"定理"，判断无据，以日常概念代替科学概念。“垂直于同一直线的两条直线平行”判定定理这一相近知识套用到立体几何中来，臆造“定理”，判断无据。
以上常见的同学解题错误，不胜枚举，有的明显可见，有的稍为隐蔽，但只要同学自己解题后能认真进行反思，是不难发现并及时予以纠正的。可惜不少同学只满足于一知半解，解完了事，不加探索回顾，任其漏洞百出。这种错误思想和做法，像蛀虫一样严重蛀蚀着学生的思维品质，影响学生解题能力的提高。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视。
（二）积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力。
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。
1.一题多解。一题多解，既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等。这些对提高解题能力是多么重要。
2.多题一解。8个不同元素排成前后两排，每排4个元素，有多少种排法？8个不同元素排成3排，前排4个，中排3个，后排1个，有多少种排法？
通过进一步论证，从而可以推出这类题目的统一解法：n个元素排在n个位置上，只要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，发挥多题一解的优势。