首页 -> 2008年第9期
“数值分析”课程的探究式教学
作者：钟尔杰 黄廷祝
关键词：探究式教学；创新人才培养
“数值分析”是理工科研究生的一门数学基础课程，以介绍计算机求解数学问题的方法及其理论为主要内容。该课程具有很强的科学工程计算背景，不同专业的工科研究生除了学习数学方法，也希望提高自身的科学计算能力。在课程教学中实现师生互动，探讨和研究问题，使这一课程具有生机与活力。通过学校校园网的多种平台实现师生之间沟通和交流，构建以培养学生创新思维和科学计算能力为重点的探究性课堂教学模式。
一、在数值分析课程中强调科学工程计算思想
“数值分析”课介绍对于数学问题求解的数值计算方法，对于数值计算通常涉及算法的效率和精度两个方面，效率涉及计算速度，精度涉及计算误差。数值分析课由此展开丰富的教学过程，也给学习数值分析课的学生提供了进一步思考的空间。强调科学工程计算思想是工科研究生数值分析课探究式教学的前提。
1、数值分析中的科学工程计算思想
数值分析不仅提供了用计算机求解数学问题的方法，还引进科学工程计算思想。首先，科学工程计算中所接触的数据可能是带有舍入误差的近似数据，这种近似具有一定准确度。如果用某种复杂计算所获得的数据与近似数据相差太大时，说明复杂计算所得数据有严重问题。这就是通常所说的对数据敏感性。其次，在近似计算中常常使用由简单到复杂的计算修正，如，逐次逼近过程。这些思想和方法正是科学工程计算中常用的。数值分析课介绍的数学方法多数都有工程背景，对离散数据插值和对函数的数值逼近的方法来源于对实验数据处理、产品外形设计等工程实际问题，样条函数方法正是图像处理技术等方面的关键部分，FFT技术能够快速处理数据，在机械、电子、信息、自动化工程中的实时信号处理中占有重要位置。
数值逼近是“数值分析”课介绍的主要内容之一，在插值方法、最小二乘方法、数值积分和数值微分方法、微分方程数值解方法中都体现了数值逼近的思想。既是逼近，就有误差，这就是工程实际和纯粹数学世界的不同。在传统的数学中强调逻辑的严密性和和数学计算的准确性，而逼近的方法是一种近似的方法，与准确性大相径庭。通过对数值逼近思想的理解来意识到近似和准确是一个问题解决中的两个方面，简化问题，从而较快获得原问题的近似解答，进而用所学知识去求精度更高的近似解。
2、数值分析中的几种常用技术
数值分析课程中介绍常用的几种计算技术包括：迭代技术、离散数据连续化技术、连续问题离散化技术。对于迭代技术，首先要有一个初始值(猜测值)，其次要有迭代计算格式，最后还要有迭代结束的判据。从数学方法上联系“数学归纳法”的介绍，从计算机程序设计技术上联系“递归计算”的介绍。迭代不仅仅是技术，还体现了逐次逼近的数学思想。对一个猜测值，在计算过程中不断加以修正，以便与正确答案相吻合。而“离散数据”和“连续问题”的相互转换正是计算机的数字世界和传统的纯粹数学世界沟通的重要途径之一。计算机处理离散数据，数学世界研究的大多的是连续问题。一元函数离散化可得到一维数组(向量)，二元函数离散化可得到二维数组(矩阵)：反过来对一维数组的插值可得一元函数，对二维数组的插值可以得到二元函数。
二、数值分析课的教学交流
数值分析课程中对数学问题和方法的研究涉及其他的研究生数学课程，如“矩阵理论”、“泛函分析”、“数理统计”、“常微分方程”。以数值计算的层面来认识涉及其他课程中的数值计算问题，会有很多新的收获。通过网络平台实现教学中的师生交流，将研究生数学课知识进行的融合是令人欢欣鼓舞的事情，也是探究式教学的主要特点。
1、以问题为主线的教学交流
任何数学课都有“辅导答疑”的教学环节，但“数值分析”所涉及的数学分支多，应用面广，在“答疑”方面与传统的数学课程有所区别。数值分析课介绍的问题包括两方面，一是包括习题在内的数学问题，二是涉及面较为广泛的应用实例。例如，关于矩阵分解，和研究生的矩阵理论课在内容上有交叉，而数值分析课侧重研究算法及其效率。学生的问题可能会提到QR分解和LU分解在算法上哪一个效率更高，教师在解答时除了分析浮点运算次数外，还应就数值实验进行比较。
这些解答通过文字资料的整理和数据对比的表格形式可以取得很好的教学效果。著名的Koch曲线的分形算法是一个应用范例，学生希望掌握正交矩阵在分形算法中应用，进而对分形算法做进一步研究。由于问题的综合性，需要教师在课后针对问题查阅资料，写出文本文档发布在校园网上供同学下载阅读。这样的文本文档经多次修改后形成一篇数学小论文，文中除了写出问题的背景和解答外，还附上算例和程序，以及计算结果(及图形)。
同学在浏览后会深入思考，提出进一步的问题。例如，有人在研究“高速网络系统的流量”课题时，联想到信息自相似特性，与老师探讨分形的实际应用与理论研究。这已经超越了答疑，构成一种形式新颖的教学交流。
2、数学问题研究和整理
各种数学问题发现使数值分析课充满生机，这些问题不再局限于课本上习题或是习题集，而是长期教学中不断积累扩充、自然形成的教学资料。这些资料是教师和学生不断交流，思维碰撞产生火花的成果，是一种用于承前启后的学习资源。
由于“数值分析”联系面广，涉及问题多，将学生提出的各种问题在交流中整理，从数学上加以分类。从问题来源分类，可以是对“定理的扩充”，对“概念的理解”对“算法的理解”，对“习题的理解”，以及“面向实际应用”这几大类。
比较成熟的问题成为教师和学生交流和共同思考的资料。如“关于正交矩阵的注记”这篇短文讨论了三个问题：2－范数正交不变性，正交变换的角度，正交变换的方向。除文字外，还增加数值计算例子以及程序代码。这正是教师和学生通过网络平台上多次交流，课后深入讨论后所形成的成果。而“关于牛顿迭代法的注记”短文中讨论了四个问题：牛顿迭代法收敛的几种情况的几何解释，牛顿迭代法不收敛的反例，对于特例的高次代数方程牛顿迭代法的收敛区域图。
教师以注记的形式整理出的小论文，类似于数值分析释疑解难，由于学生直接参与讨论，使教学效果超越了一般的数学课答疑。作为对课程内容的诠释，从计算(或算法)角度去理解数学，是数值分析教学立体化的一部分。
三、数值分析课中的课程设计
在数值分析课的教学中，我们在完成正常的教学内容基础上，要求学生完成课程设计作业。在“数值分析”
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