|
勾股定理 本身就是一个不定问题，显然它有无数组解。满足该定理的有理数组(a，b，c)通常称为勾股数组，西方称为毕达哥拉斯数组。如何表示出勾股数组，是两千多年来数学家们关注的问题。公元前五、六世纪，毕达哥拉斯设一奇数为 ，m为正整数，那么 就是勾股数组；后来柏拉图以 为勾股数组公式，欧几里得以 或 表示勾股数组，显然这些表达式并未给出全部勾股数组。
世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》勾股章“二人同所立”问。问题是：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何？”显然甲行c+a，乙行b，而(c+a)：b=m：n=7：3。《九章》先求出南行率即勾率 ，东行率即股率b=mn，邪行率即弦率 。然后根据已知南行步数，用今有术求出东行和邪行步数。这里勾、股、弦三率便是勾股数的通解表示式，其为通解的条件是m、n为互素的奇数，《九章》的两个例题都符合此条件。国外被认为最先给出勾股数组通解公式的是希腊的丢番都，其公式 ，是若令 ，则可得到与《九章》等价的公式。丢番都大约与刘徽同时，比《九章》晚了三、四百年。
《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的问题后来也发展为勾股差率与弦率的形式：
这是勾股数组的通解公式的另一种形式，其条件为p、q为互素奇数， 是一个完全平方数。秦九韶曾用该公式成功地解决了遥度圆城的十次方程造术。美国数论专家迪克森(Dick-son)1894年提出了勾股数组的另一种形式： 。显然，其雏形便是《九章》勾股章已知弦勾差、弦股差求勾、股、弦的公式。
|
