图30 朱世杰改进的贾宪三角

　　递增三乘开方法草曰①：(1)置积为实。别置一算名曰下法于实末。常超三位，约实。〔一乘超一位，三乘超三位。万上定实。〕 (2)上商得数〔三十〕；乘下法，生下廉〔三十〕；乘下廉，生上廉〔九百〕；乘上廉，生立方〔二万七千〕。命上商，除实〔余五十二万六千三百三十六〕。(3)作法：商第二位得数。以上商乘下法，入下廉〔共六十〕；乘下廉，入上廉〔共二千七百〕；乘上廉入方〔共一十万八千〕。(4)又乘下法入下廉〔共九十〕；乘下廉入上廉〔共五千四百〕。又乘下法入下廉〔共一百二十〕。(5)方一、上廉二、下廉三、下法四退〔方一十万八千，上廉五千四百，下廉一百二十，下法定一。〕。(6)又于上商之次续商置得数〔第二位：四〕。以乘下法入下廉〔一百二十四〕；乘下廉入上廉〔共五千八百九十六〕，乘上廉并为立方〔一十三万一千五百八十四〕。命上商，除实，尽，得三乘方一面之数[如三位立方，依第二位取用]。

　　其计算草图应为：
　

　　这是有文字记载的第一个开四次方程序，它比立成释锁法简便。这个开方如果不用随乘随加，便要利用贾宪三角第五层，计算4·3，，。同时，它的程序化比立成释锁法更强，只要作好第一步布位定位，掌握退位步数，那么以商自下而上递乘递加，每低一位而止，对任何次方都相同。开方次数愈高，商的位数愈多，数字愈大，就愈显得这种方法优越。后来在阿拉伯地区产生了同样的方法。而在欧洲，直到上世纪初才先后由鲁菲尼与霍纳创造出来，故称为鲁菲尼—霍纳法或霍纳法，比贾宪晚800余年。

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　　注释：

　　①此为法、草合一，原以大、小字区别，今将草放入方括号中。以下的(1)、(2)、(3)、……是作者加的，以便与下图相应。