中国古代科技史话 作者:金秋鹏


第八节 圆周率和祖冲之



  在汉以前,中国一般用三作为圆周率数值,即“周三径一”。这在计算圆的周长和面积时,误差很大。汉时虽有不少数学家和天文学家采用了各自不同的圆周率数值,但都没有建立严谨的科学计算方法。最早提出科学计算方法的数学家是刘徽,他在魏景元四年(公元263年)注释《九章算术》时,创立了“割圆术”,把圆周率的计算推上了一个新的高度。这个方法把极限的概念运用来解决实际的问题,孕育着用有限来逼近无穷的思想,是世界数学史上的一项重要成就。

  所谓的“割圆术”,就是当圆内接正多边形边数不断增加时,它的周长越来越接近于圆周长,“割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,当圆内接正多边形边数无限大时,其周长就是圆周的周长。这个方法只需用圆内接正多边形的面积就可求取圆周率,不必计算圆外切正多边形的面积,大大简化了计算的过程。刘徽应用这个方法,从圆内接正六边形算起,边数逐步加倍,一直算到圆内接正192边形的面积,得出π的近似值3.14。另一个近似值π=(3927)/(1250)(相当于3.1416)可能也是刘徽算得的,这是当时世界上最佳数据。

  南北朝时的祖冲之,在刘徽工作的基础上,把圆周率的计算推进到古代世界的最高峰。他运用“割圆术”,求出了精确到第七位有效数字的圆周率,3.1415926<π<3.1415927。这一结果的获得,需要对九位数字的大数目进行各种运算(包括开方)130次以上,又是使用筹算方法,其繁复、艰巨可想而知。这一结果领先于世界达1000年之久。祖冲之还得出了两个用分数表示的圆周率数值,一个是355/113,称密率,这是分母、分子在1000以内表示圆周率的最佳渐近分数,欧洲直到16世纪才取得这一结果;一个是22/7,称约率。

  圆周率的计算,仅是祖冲之的一项贡献,他的科技成就是多方面的,堪称当时一位卓越的数学家、天文学家和机械制造家。

  祖冲之,字文远,祖籍河北范阳遒〔qiu求〕县(今河北涞水县),南北朝时举家南迁建康(今南京)。他生于公元429年,卒于公元500年。他的家庭,从曾祖父起,大都对天文、历法、数学很有研究,在家庭气氛的熏陶下,祖冲之从小就对这些科学很有兴趣,努力学习,亲自观测天象,进行推算,因而造诣很深。

  除了圆周率外,祖冲之在数学方面的另一重要贡献,就是创立了求球体体积的正确公式:球体积=4/3π×(半径)3。这也是在刘徽工作的基础上,祖冲之与他的儿子祖暅[geng更去]之共同研究而取得的。在研究过程中,祖氏父子应用了“等高处截面积相等的两个立体,其体积必相等”的公理。这一公理在欧洲直到17世纪才被意大利数学家卡瓦列里所引用。祖冲之还曾著有《缀术》一书,在唐代被列为10部算经之一。可惜由于其内容太高深,被学官废置而亡佚。

  在天文学方面,祖冲之大胆地指出了前人所制历法的不足,提出了历法改革,于刘宋大明六年(公元462年),完成了新历法“大明历”的制定工作。大明历把岁差首次引入历法,把19年七闰法改为391年144闰,从而使历法更加精密。

  同时,祖冲之在机械方面也有辉煌的成就。他曾制造过“圆转不穷,而司方如一”(《南齐书·祖冲之传》)的指南车、“日行百余里”(《南齐书·祖冲之传》)的千里船,以及利用水力转动石磨舂米磨谷的水碓磨等。

  为了纪念祖冲之在科技方面的卓越贡献,国际天文学界将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”。




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应天故事汇 -34-